En général, lorsqu'il s'agit d'évaluer des aires ou des volumes, il est facile de concevoir un mode de génération qui mette en évidence l'élément générateur. Toutefois, ce n'est là qu'une circonstance exceptionnelle, et dans la plupart des cas, on chercherait en vain à fixer d'une manière directe et précise la nature de cet élément. Il convient alors de ne voir en lui qu'une grandeur abstraite. Son état, exprimé par une fonction, peut seul être introduit dans le calcul. C'est cette fonction qu'il importe de déterminer, et tel est l'objet du calcul différentiel.

Lorsque la fonction est donnée, la différenciation fournit immédiatement l'expression de l'élément générateur. Dans l'ordre inverse, c'est-à-dire dans le calcul intégral, l'élément générateur devient la base sur laquelle on reconstruit la fonction.

Les procédés du calcul différentiel n'exigent pas que la fonction soit connue pour que l'on puisse obtenir la fonction dérivée. Il suffit d'opérer sur le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, et de chercher ce que devient ce rapport lorsqu'on y annule l'accroissement. Les termes qui s'évanouissent doivent être supprimés, non parce qu'ils sont négligeables relativement aux autres, ce qu'on suppose habituellement dans la méthode des infiniment petits,

mais, en réalité, parce qu'il faut rigoureusement en faire abstraction pour parvenir à dégager la fonction dérivée, c'est-à-dire l'expression numérique de l'élément générateur.

Proposons-nous comme application la recherche du centre de gravité d'un triangle quelconque ABC, dont la hauteur est h et la base b.

Soit mn et pq deux parallèles à la base, z la distance de la droite mn au sommet C, Az l'écartement des deux parallèles.

Si nous représentons par M le moment du triangle mCn, pris par rapport à la droite LL' menée par le sommet parallèlement à la base, nous aurons évidemment :

Az
2

z+ + (pq―mn) (z+μ. Az

P. étant une fraction.

Posons maintenant Azo, et observons que de

là résulte mnpq, il viendra

S'agit-il du triangle ABC, on a z = h, et désignant par z' la distance du centre de gravité à la droite

Dans cet exemple, l'élément générateur est

exprimé analytiquement par la fonction

b
z2. Cet
h

élément sera, si l'on veut, un rectangle ayant pour base mn et pour hauteur z. Concevons que le plan de ce rectangle soit normal à celui du triangle ABC. Dans son déplacement, il engendrera une pyramide quadrangulaire ayant h pour hauteur, et pour base le rectangle bh. Il est d'ailleurs évident que la solidité de cette pyramide représente numériquement le moment du triangle. On a done directement

La solution, fournie par le calcul différentiel, s'étend d'elle-même à la recherche du centre de gravité des solides. Il n'en est pas ainsi du procédé direct applicable au triangle. Ce procédé veut une représentation précise de l'élément générateur. Elle est possible dans un cas; elle ne l'est plus dans l'autre.

Considéré d'une manière abstraite, l'élément générateur est en général représenté par une fonction. Cette fonction dérive de la fonction donnée, et elle a, comme celle-ci, un élément générateur qui lui est propre. Les dérivées successives expriment donc, par rapport à la fonction primitive, une série d'éléments générateurs appartenant à des ordres différents. A la première dérivée correspond l'élément générateur du premier ordre; à la deuxième, l'élément générateur du second ordre, et ainsi de suite pour les autres.

Deux fonctions d'une même variable peuvent prendre une même valeur pour une valeur particulière de la variable. Si les fonctions ne sont pas identiques, les valeurs immédiatement successives sont nécessairement différentes; toutefois elles diffèrent d'autant moins que les éléments générateurs du premier ordre sont plus près d'ètre égaux.

S'ils sont égaux, la différence dépend des éléments générateurs du second ordre et elle décroît sans cesse à mesure que les valeurs correspondantes de ces éléments se rapprochent davantage l'une de l'autre. Ces valeurs viennent-elles à coïncider, l'influence prédominante est acquise aux éléments générateurs du troisième ordre, puis ensuite à ceux des ordres inférieurs, la loi de priorité restant toujours la même.

Lorsque les fonctions représentent des courbes qui se touchent, le degré du contact est indiqué par le nombre des éléments générateurs qui coïncident successivement à partir du premier. Dans la méthode des infiniment petits, une courbe est un polygone dont les côtés deviennent, à la limite, ce qu'on est convenu de nommer les éléments de la courbe. Une courbe en touche une autre lorsqu'elle a avec elle un élément de commun. En a-t-elle plusieurs, leur nombre détermine le degré du contact. Néanmoins, quel que soit ce degré, les éléments supposés communs se réduisent toujours à un seul et même point. De là résulte une contradiction apparente, et à cet égard ce ne serait peut-être pas sans raison plausible qu'on reprocherait à ces énoncés le défaut de cacher le sens vrai qu'ils renferment sous une expression qui peut donner prise à des interprétations erronées.