soit cette propriété, elle se trouve implicitement comprise et exprimée dans l'équation différentielle.

La relation (2) se prête explicitement à chacune des particularisations que comporte, la loi qui la régit; mais dès qu'elle est particularisée, elle devient dépendante de l'accroissement que l'on considère, et elle n'offre plus qu'une trace incertaine de l'universel qui constitue son essence primitive. Cependant il est une circonstance capitale

Ay

qui caractérise la loi du rapport et qui la

Δα

détermine en présentant l'universel, qu'elle renferme et qui la distingue essentiellement, dégagé de toute particularisation. L'équation différentielle exprime cette circonstance.

Tel est, nous paraît-il, le point de vue auquel M. Bordas s'est placé pour établir la métaphysique du calcul différentiel. Quant aux règles de ce calcul et aux différentes applications qu'il comporte, elles n'exigent point, en général, que l'on voie dy dx

dans le symbole

autre chose que ce que devient

Ay

l'expression du rapport

lorsque les accrois

Ax

sements s'annulent. Cependant il peut être utile de

préciser la nature du lien qui rattache l'équation

différentielle à son intégrale. Nous essaierons d'exposer deux des aperçus sous lesquels la question se présente.

$ II.

Notion sur la fonction dérivée considérée comme exprimant, par rapport à la fonction primitive, l'état de l'élément générateur.

Lorsqu'on prend à son origine l'accroissement d'une fonction continue, on remarque que cet accroissement tend à se produire proportionnellement à deux facteurs; l'un est la fonction dérivée, l'autre l'accroissement de la variable. Ce qui empêche que cette loi si simple régisse les accroissements finis, ce sont les variations successives de la fonction dérivée. Concevons que l'on substitue à la fonction dérivée le nombre qui exprime sa valeur initiale, et que l'on considère ce nombre comme la dérivée constante d'une fonction particulière. En ce cas, quel que soit l'accroissement de la nouvelle fonction, il aura pour mesure le produit de la fonction dérivée par l'accroissement donné à la variable. De là résulte une loi de génération qu'il est facile de se représenter; en vertu de sa permanence, cette loi sub

siste à l'origine de tout accroissement, et elle s'applique par conséquent à la fonction primitive.

Restons dans l'hypothèse d'une dérivée constante et considérons les deux éléments qui concourent à la génération : l'un est l'accroissement de la variable; c'est de lui que dépendent respectivement chacun des accroissements particuliers de la fonction. L'autre, au contraire, ne particularise aucun accroissement, et il les régit tous; c'est l'élément générateur proprement dit.

A l'origine, la loi de l'accroissement est, pour la fonction à dérivée constante, la même que pour la fonction primitive; les deux fonctions subissent donc les mêmes conditions initiales, et il suffit que l'élément générateur soit déterminé dans l'une d'elles pour que la même détermination s'applique immédiatement à l'autre.

La conception de l'élément générateur s'étendant à une fonction quelconque, on observera que la fonction dérivée fournit, pour chaque valeur de la variable, l'expression de l'état particulier dans lequel cet élément concourt à la génération. Cette expression peut seule entrer dans le calcul, et c'est elle qu'il importe de connaître. Quant à la nature de l'élément générateur, il est impossible de la préciser en général, et, pour qu'elle se manifeste, il faut certaines circonstances particulières. Supposons que l'on connaisse a priori l'élément

générateur et qu'il s'agisse d'obtenir la fonction dérivée, le caractère général auquel on reconnaîtra cette fonction est le suivant:

Quels que soient les changements successifs qui s'opèrent dans l'élément générateur, on peut toujours considérer cet élément dans l'un quelconque des états par lesquels il passe, et, l'accroissement de la variable restant arbitraire, concevoir que cet état persiste sans altération. Dans cette hypothèse, la grandeur engendrée a pour mesure le produit de l'accroissement de la variable par une certaine quantité dépendante, non de l'accroissement, mais de la variable. Cette quantité exprime l'état initial de l'élément générateur, et elle constitue la fonction cherchée.

Soit, par exemple, une fonction quelconque,

z= f(x)+cons'.

Imaginons qu'elle représente une aire plane comprise entre l'axe des x, une courbe détermi– née par la nature de la fonction et deux ordonnées de cette courbe.

L'une des ordonnées étant supposée fixe, l'autre sera l'élément générateur de la fonction. Soit y cette ordonnée, on aura généralement :

y = f'(x).

Ainsi tandis que l'équation finie

Z = f(x)+cons'.

donne, pour chaque valeur de la variable, l'état correspondant de la surface z, l'équation différen

fournit en même temps la valeur correspondante de l'ordonnée génératrice y.

Dans une courbe, la touchante est l'élément générateur de l'ordonnée (1).

Dans le cercle, la surface est fonction du rayon; l'élément générateur est la circonférence,

De même le volume de la sphère a pour élément générateur sa surface,

La quantité de mouvement, considérée comme fonction du temps, a pour élément générateur la force tangentielle. Si l'une est donnée à chaque instant par la condition

(1) L'élément générateur régit ou règle la génération.