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SUPPLÉMENT A LA MÉTAPHYSIQUE

DU

CALCUL DIFFÉRENTIEL

PAR M. LAMARLE.

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SUPPLÉMENT A LA MÉTAPHYSIQUE

DU

CALCUL DIFFÉRENTIEL (4).

SI.

dy dx

Interprétation de l'équation différentielle - = f'(x) considérée comme

exprimant l'ensemble des propriétés générales du rapport fini·

Ay

ᎪᏆ

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Chacune de ces deux relations implique l'autre ; toutefois, elles ne doivent point être confondues.

(1) Ce supplément se rapporte au chapitre des Mathématiques.

Dans la première, on considère la fonction et la loi de dépendance qui régit chacune de ses valeurs particulières. Cette loi est explicite. Dans la seconde, c'est le rapport des accroissements de la fonction à ceux de la variable qui se trouve exprimé. La loi générale qui régit ce rapport est contenue implicitement dans l'équation (1); l'équation (2) la met en évidence. Reprenons le développement :

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et remarquons qu'il est complétement déterminé par cela seul qu'on en connaît le premier terme. Or, pour dégager ce premier terme, il suffit d'annuler l'accroissement Ax. En conséquence, si l'on

dy

représente par le symbole ce que devient le

dx

premier membre de la relation (2) lorsque les accroissements particuliers s'annulent, cette relation peut être suppléée par l'équation différentielle :

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et, sous cette forme, elle conserve toute sa généralité,

Soit b, une valeur particulière de ▲x. Le rap

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obtenir explicitement l'expression de cette propriété, il faut faire usage de la relation (2) et substituer b à Ax.

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nombre entier quelconque. La substitution de b à Ax doit donc être considérée comme faisant exprimer à la relation (2) l'ensemble des propriétés

générales qui appartiennent au rapport

Ay

mb

Plus

la quantité best supposée petite, plus cet ensemble prend d'extension. Néanmoins il ne peut jamais embrasser toutes les propriétés du rap

Ay

port Celles qui correspondent à des valeurs Ax

de Ax moindres que b, ou qui n'en sont pas des multiples, lui échappent constamment. Ce n'est donc qu'en faisant abstraction de toute valeur particulière, c'est-à-dire en annulant Ax, que l'on peut parvenir, comme nous l'avons vu d'abord, à une expression complète de la loi générale. Toute

Ay propriété du rapport correspondante à une

Ax'

valeur particulière de l'accroissement Ax, peut être rendue explicite par une substitution convenable, effectuée dans la relation (2). Quelle que

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