Cela étant, sans avoir égard à des erreurs que je serai toujours maître d'atténuer autant que je le voudrai, je traite les deux équations MN MN TP=MP - , que je viens de trou ver, comme si elles étaient parfaitement exactes l'une et l'autre; substituant donc dans la dernière MN la valeur de tirée de l'autre, j'ai pour résultat Ce résultat est parfaitement juste, puisque les triangles semblables CMP, MPT, donnent CP: MP:: tiré, sont certainement fausses toutes les deux, puisque la distance de RS à MP n'a point été supposée nulle, ni même très-petite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par conséquent de toute nécessité que les erreurs se soient compensées mutuellement par la comparaison des deux équations erronées (1). » La conséquence de cette doctrine, c'est qu'une différentielle n'est exacte qu'après avoir été com (1) Réfl, sur la mélaph, du calcul infinilésimal, édit. 2o, p. 12. binée avec une autre. Mais comment savoir que la compensation parfaite a toujours lieu? Loin d'absoudre le calcul différentiel de l'accusation d'erreur, n'est-ce pas lui donner l'erreur pour prin cipe? Non, les équations TPy MN MN y RN' RN a Ꮳ 9 ne sont point fausses. Quand l'auteur a négligé T'T dans la première, et MN et RN dans la seconde, il a fait ces quantités nulles, en sorte qu'elles le sont nécessairement dans les deux équations. Ces deux équations tirent si peu leur exactitude de l'équation TP 2 = y2 1 a x , que TP MN et y RN a X le sont. Il est vrai que si on égale MN et RN à zéro, on retombe dans l'hypothèse de Newton et dans la difficulté qu'elle entraîne de comparer des quantités nulles, comme si on leur attribue une valeur, on retombe dans celle de Leibnitz, de détruire la rigueur du calcul différentiel. Rappelons-nous que l'objet de ce calcul est de mettre en évidence les rapports qui constituent l'universel des fonctions, en éliminant la partie des rapports constitutifs de l'individuel, qui les cachent, ou qui particularisent les fonctions. Ces deux sortes à se confondre avec MP, le rapport constitutif de l'individuel s'évanouit, et apparaît le rapport constitutif de l'universel; le premier frappe les sens au moyen des lignes MN et RN; le second, représenté par les symboles dy et dx, n'est saisi que par l'intelligence. D'où l'on voit qu'effectivement les quantités différentielles, c'est-à-dire les rapports de l'universel des fonctions, ne sont point nulles, que ce qui est nul, ce sont les quantités algébriques, c'est-à-dire les rapports de l'individuel, lesquels, après avoir servi à mettre sur la voie des rapports de l'universel, s'effacent pour que l'esprit puisse s'emparer de ceux-ci. Leibnitz et Newton avaient donc également tort, Newton d'égaler à zéro les différentielles, Leibnitz de soutenir l'existence des infiniment petits, puisque évidemment il entendait par ce mot l'individuel des fonctions. confond avec MP, il vient MN=0, RN=0, et TP Quand RS se y У tôme d'un changement de fonction (1). » On change de fonction, soit en introduisant de nouveaux rapports dans la fonction que l'on considère, soit en excluant une partie de ceux qu'elle renferme. Ce dernier cas est celui du calcul différen 0 tiel. - dans 0 , indique l'exclusion de ce qui individualisait la fonction y2 — 2ax2+x2=0 ou de ce qui lui était accidentel, et que représentaient les deux lignes MN et RN. Égaler donc ces lignes à zéro, c'est déclarer qu'on ne considère que ce qu'il y a de permanent dans la fonction; et dans l'opération, marque très-bien que la fonction étant privée de ce qu'elle avait d'accidentel ou de changeant, est incapable des changements individuels indéfinis qu'auparavant elle pouvait produire, que rien en elle ne l'y détermine plus. Cependant 0 n'est indéterminé qu'en apparence; étant la trace du passage de la considération de l'individuel à la considération de l'universel, il représente implicitement ce dernier. S'il le représentait aussi ex (1) Leçons sur le calcul des fonctions, p. 321; édit. 1806. plicitement, il serait le vrai symbole de dx c'est ce que fait- dy; d, qu'on prononce différen– tielle, signifiant une différence nulle, dit que la fonction n'est plus sujette à devenir différente de ce qu'elle est actuellement, que la différence de tous ses états est zéro, ce qui prouve qu'auparavant une de ses propriétés était de varier, qu'elle l'a perdue, et qu'elle n'a plus que celle de rester permanente. Bien entendu que c'est par rapport à l'état dans lequel on l'a d'abord envisagée, c'est-àdire, par rapport à son premier individuel; car, si l'universel auquel elle est maintenant réduite enferme des variables, elle peut être considérée comme une nouvelle fonction complète, qui à son tour contient un universel et un individuel. Donc dx dy 0 indiquant comme le passage de l'individuel à l'universel, et de plus représentant celui-ci explicitement, c'est-à-dire exprimant à la fois et l'universel, et l'opération par laquelle il a été dé gagé, forme le symbole naturel de a y et doit . Le même raisonne et à TP y |