qu'il n'avait envisagé que les rapports de l'individuel dans la quantité continue, rapports qui sont particuliers à l'égard des rapports de l'universel, quoiqu'ils soient généraux à l'égard des rapports de la quantité discontinue.

Leibnitz publia les premiers éléments du calcul différentiel dans les Actes des savants de Leipsic, du mois d'octobre 1684 (1). On les trouve aussi dans une lettre du 21 juin 1677, qu'il avait écrite sept ans auparavant à Oldenburg, et qui fut peutêtre remise à Newton (2). Il y déclare même qu'il possède ce calcul depuis longtemps, jam a multo tempore. Outre l'antécédent fondamental de l'analyse des variables de Descartes, on peut dire que certaines façons particulières d'évaluer les lignes, les surfaces, les solides courbes, que le procédé des maxima et minima, celui des tangentes, avaient été un acheminement au calcul différentiel, de même que les lieux géométriques à l'analyse des variables.

quæ tamen etiam accurate describi possunt, ex geometria exclusit, et mecanicas vocavit, quia scilicet eas ad æquationes revocare, et secundum suas regulas tractare non poterat. Verum sciendum est, istas ipsas quoque, ut cycloidem, logarithmicam, aliasque id genus, quæ maximos habent usus, posse calculo, et æquationibus etiam finitis exprimi, at non algebraicis, seu certi gradus, sed gradus indefiniti, sive transcendentis. Et ita eodem modo posse calculo subjici ac reliquas: licet ille calculus sit alterius naturæ quam qui vulgo usurpatur. » Ibid., t. III, p. 159.

(1) P. 250. Op. Leib., t. III, p. 167.

(2) Ibid., p. 80.

Pour carrer le cercle, les anciens lui inscrivaient et lui circonscrivaient un polygone, dont ils doublaient successivement les côtés, épuisant ainsi par degrés l'espace entre les périmètres des deux polygones et la circonférence du cercle; ensuite, pour le cercle, ils prenaient l'un des deux polygones. De là le nom d'exhaustion donné à cette marche. Eutocius, qui vivait dans le cinquième siècle, introduisit l'infini, et eut l'idée de considérer le cercle comme un polygone d'une infinité de côtés. Cette innovation, alors sans conséquence, reçut, mille ans plus tard, un développement de Képler (1), pour qui le cercle se compose d'une infinité de triangles ayant leur sommet au centre et leur base à la circonférence, le cylindre d'une infinité de prismes triangulaires de même hauteur, ainsi des autres surfaces et solides. Voilà la méthode des indivisibles, dont Cavalieri (2) et Roberval (3) firent aussitôt un bel usage, mais dont ordinairement ils sont mal à propos réputés les inventeurs. Elle prend un nouveau tour entre les mains de Wallis (4), et, dans celles de Newton,

(1) Nova stereometria, etc. 1615.

(2) Geometria indivisibilium continuorum nova quadam ratione promota. 1635.

(3) Traité des indivisibles, t. VI du Recueil des Mémoires de l'Académie des Sciences de 1666 à 1699.

(4) Arithmetica infinitorum. 1655.

une extension plus grande (1). Or, la transition par l'infini d'un polygone à une courbe, d'un polyèdre à un volume terminé par une surface courbe, est au fond celle que le calcul différentiel opère dans les quadratures, cubatures et rectifications, et dans la mise en évidence de l'universel d'une fonction quelconque.

Les maxima et les minima, dont le germe se trouve aussi dans la Stéréométrie de Képler, et qui ensuite sont traités par Fermat, offrent, pour l'artifice de l'opération, une ébauche de l'opération différentielle. Supposons une ligne a, qu'il faille diviser en deux parties telles que leur produit soit un- maximum (2). Désignant par x l'une des parties, l'autre sera a-x et le produit ax - x2. Que x reçoive un accroissement arbitraire E, il vient ax + aЕ — x2 — 2xE-E3. De ce que E est indéterminé et qu'on peut le rendre aussi petit qu'on veut, il est permis d'écrire ax+aE-x2-2xEE2 = ɑx — x2, ou réduction faite, et considérant le

ах

N'est-ce pas là ce qui se pratique dans l'analyse différentielle, sauf la modification de la forme

(1) Analysis per æquationes numero terminorum infinitas, communiqué à Barrow. 1669. Opuscula, t. I.

(2) Fermat. Op. p. 63.

qu'apporte le symbole? Fermat applique sa méthode aux tangentes, ce qui cause un malentendu de la part de Descartes (1), et par suite une discussion vive, mais en soi peu importante, et d'ailleurs étrangère à notre sujet, puisque Fermat est en dehors de l'école cartésienne, et qu'il n'est ici question de lui qu'accidentellement.

Barrow a une manière plus simple de mener les tangentes. Est-ce celle de Fermat, qu'il aurait perfectionnée, ou en est-il le seul auteur? Il l'a publiée sur le conseil d'un ami, et à titre d'appendicule (2). Il fait usage de deux indéterminées E, A. Qu'on veuille tirer la tangente MT à la circonférence

DMR, il suffit de trouver la sous-tangentè TN. J'élève une ordonnée CA, infiniment voisine de NM, et du point M je mène MP parallèle à TR. Le petit

(1) T. VII, p. 6.

(2)) << Ita propositi nostri priore (quam innuebamus) parte quomodocumque defuncti sumus. Cui supplendæ, appendiculæ instar, subnectemus a nobis usitatum methodum ex calculo tangentes reperiendi. Quamquam haud scio, post tot ejusmodi pervulgatas atque protritas methodos, an id ex usu sit facere. Facio šaltem ex amici concilio; eoque libentius, quod præ cæteris, quas tractavi, compendiosa videtur ac generalis. >> Lecliones geometricæ, lect. x. p. 80, an. 1668.

arc MA pouvant être considéré comme une ligne droite, le triangle MPA est semblable à TNM. Je

Dans

l'équation de la circonférence y2 2ах 2ax-x2, je substitue y A et x+E à la place de y et de x, ce qui donne y2+2Ay + A2 = 2ax+2αE — x2 — 2Ex --E. A cause de y2 = 2ax — x2, et de A2 et E' qu'il faut annuler, j'ai Ay=aE- Ex = E (a− x), ou

У

E sous-tang. TN

Mais

y

a X

revient à On ne saurait être plus près

du calcul différentiel.

Toutefois il reste encore deux pas à faire : trouver le moyen d'obtenir immédiatement sur une

A

fonction donnée la valeur de sans être obligé

E'

de faire les substitutions, développements et réductions, et puis de lui adapter le symbole ou al

ou 1665, par la méthode des fluxions, mais imparfaitement, parce qu'ils ne peuvent être bien faits l'un sans l'autre, et qu'il manque le second; car il est impossible de reconnaître un symbole