par les longueurs des perpendiculaires correspondantes, et les longueurs des perpendiculaires par

etc.

celles des lignes op, op', op', op", op", op" qui diminuent à mesure que les perpendiculaires augmentent, et réciproquement. Rien n'empêche de considérer les op, op', etc., comme une seule ligne qui varie, de même les mp, m'p', etc.; représentons l'une par x, l'autre par y, symboles affectés aux quantités changeantes; omp, om' p', etc., étant des triangles rectangles, et la ligne om la même dans tous, c'est-à-dire constante, désignons-la par R, il vient R2 = x2 + y2, c'est l'expression de la circonférence; elle en renferme tous les points. Qu'on la résolve par rapport à y, on a y=√ R— x2. Si x = 0, y = + R, ce qui donne les points Bet D;+R pour B, - R pour D;

si

=±R, y = ± 0, ce qui donne les points Cet A;+R pour C, R pour A. Que x croisse

d'une manière continue depuis 0 jusqu'à + R, y décroissant d'une manière aussi continue depuis +R jusqu'à 0, l'on aura les points intermédiaires. L'équation du cercle peut avoir différentes formes, selon la situation des axes AC et BD, auxquels on la rapporte, mais elle est toujours du second degré entre deux variables; il en est ainsi des équations de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole; et qu'on discute l'équation générale du second degré à deux variables Ay2+Bx2+Cxy+Dy+Ex+F=0, on est conduit, selon la valeur et les signes des coefficients, à l'équation de l'une des quatre sections coniques. Dans l'équation du premier degré, Ay+Bx + C = 0 est la ligne droite. Enfin toute équation à deux variables représente une ligne droite ou courbe. Les équations à trois variables représentent les surfaces. Quoique au delà d'un nombre très-limité de variables, on ne puisse, dans la quantité matérielle se rien figurer qui ré– ponde aux équations, celles-ci n'en expriment pas moins la quantité continue intelligible.

Maintenant qu'il s'agisse de découvrir un rapport quelconque de cette quantité, soit dans les lignes, les surfaces, les solides, soit dans les mouvements, soit où l'on voudra, on les écrit dans leurs symboles, et l'interprétation de ces symboles révèle le rapport demandé, ce qui permet à la pensée d'embrasser tous les rapports et égale sa puissance

à la nature même des choses. C'est pourquoi d'Alembert s'écrie: «Idée des plus vastes et des plus heureuses qu'ait eues l'esprit humain, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non-seulement dans la géométrie sublime, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques (1).» « Cette découverte, dit Dutens, a été d'une si grande utilité aux sciences, que les deux plus grands géomètres de l'Europe, M. d'Alembert et M. de Lagrange, m'ont assuré que tout que Newton a fait depuis pour l'avancement des sciences ne peut être comparé à ce trait seul de Descartes (2). »

ce

Sans doute avant Descartes on s'était occupé d'équations à plusieurs variables ou inconnues, c'est-à-dire, sous un autre nom, d'analyse indéterminée; mais personne n'y avait aperçu le symbole de la quantité continue. Il est vrai qu'on l'y aurait vainement cherché avant l'introduction récente des lettres, seules représentatives du contenu; car les chiffres et les autres symboles, quels qu'il soient, des nombres, ne représentent que le discontinu.

Fermat néanmoins l'y reconnaît en même temps que Descartes. Dans son introduction aux lieux

(1) Encycl., disc. prél., p. 42.

(2) Origine des découvertes attribuées aux modernes, t. II, p. 170, 4 édit. Paris, 1812.

géométriques, on trouve les équations de la ligne droite et des quatre sections coniques. Voici ses propres paroles touchant la ligne droite: «Soit NH

une droite donnée de position, et N un point donné sur cette droite. Posons NH égal à la quantité variable A, et suivant l'angle donné NHI, menons la droite HI, égale à une autre quantité variaB D

ble E. Si l'on fait

le point I se trouvera sur

une droite déterminée par la relation DA = BE. « En effet, on aura B : D :: A : E. Donc le rapport

A

E

se trouve déterminé, et d'ailleurs l'angle NHI

est donné. Donc le triangle NIH est déterminé en grandeur, et par conséquent aussi l'angle INH. Mais la droite NH et le point N sont donnés de position; donc la droite NI sera également donnée de position, et il sera facile de la construire (1). »

(1) « Recta data positione, sit NHM, cujus ponctum datum N. NH æquetur quantitati ignotæ A, et ad angulum datum NHI, elevata recta HI sit

A et E étant des quantités inconnues, ignota,

ou variables, l'équation DA

=

BE s'écrirait aujour

x; c'est bien l'équation

de la ligne droite passant par l'origine des coordonnées, qui est ici le point N. On ne saurait donc nier que Fermat n'ait fait la même découverte que Descartes, mais si pénible, si chétive, si peu explicite, que celui qui la saisirait sans la connaître déjà, la ferait presque une seconde fois; tandis que, chez Descartes, elle est dans sa puissante lumière. Il semble, malgré sa brièveté, se jouer avec elle, par la manière dont il l'expose, et par les problèmes qu'il résout. Cette différence énorme suffirait seule pour écarter le soupçon d'emprunt de la part de l'un ou de l'autre, soupçon qui, du reste, ne s'est jamais élevé. N'oublions pas d'observer que les recherches depuis longtemps poursuivies sur les lieux géométriques, furent une préparation au moyen de les représenter par l'algèbre.

Après la ligne droite, les anciens, faute de sym

æqualis alteri quantitati ignotæ E. B in A æquetur D in E. Punctum I erit ad lineam rectam positione datum. DA & BE

<< Erit enim ut B ad D, ita A ad E. Ergo ratio A ad E data est, et datur angulus NHI. Triangulus igitur NIH specie, et angulus INH. Datur autem punctum N et recta NH positione. Ergo dabitur NI positione, et erit facilis compositio.» Ad locos planos et solidos isagoge, Oper., p. 1.