De même si l'on dit : Comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A ou 5 cherché est à A2 ou 25 donné; ou encore : Comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A2 ou 25 cherché aussi est à a3 ou 125 donné, et ainsi du reste. Nous embrassons toutes ces opérations sous le nom de division, quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus dejdifficultés que les premières, parce que l'on trouve plus souvent en elles la grandeur cherchée, qui par conséquent contient plus de rapports. Car le sens de ces exemples est le même que si l'on disait qu'il faut extraire la racine carrée de a2 ou 25, ou le cube de a3 ou 125, et ainsi du reste. Cette formule, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des termes de la géométrie, à dire qu'il faut trouver la moyenne proportionnelle entre cette grandeur d'emprunt que nous appelons unité, et celle qui est désignée par a3 ou les deux moyennes proportionnelles entre l'unité et a3, et ainsi des autres.

De là il est facile de comprendre comment ces deux opérations suffisent pour trouver toutes les grandeurs qui doivent être déduites d'autres grandeurs à l'aide d'un rapport quelconque. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l'examen de l'imagination, et comment il faut les représenter aux yeux mêmes, pour ensuite en expliquer l'usage et la pratique.

Si nous avons à faire une division ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne, ou d'une grandeur qui a de l'étendue, et dans laquelle il ne faut considérer que la longueur; car s'il faut ajouter la ligne _a_ à la la ligne b nous joignons l'une à l'autre de cette manière a b et nous obtenons pour produit_____. Si, au contraire, il faut extraire la plus petite de la plus grande, savoir _____ de nous les appliquons l'une sur l'autre de cette manière ab, et nous obtenons ainsi la partie de la plus grande, qui ne peut être couverté par la plus petite, savoir_c. Dans la multiplication, nous concevons aussi sous la forme de lignes les grandeurs données; mais nous imaginons qu'elles forment un rectangle : nous les adap

a

car si nous multiplions_a_par_b, tons l'une à l'autre à angles droits

de cette manière, et nous obtenons le rectangle

D'une autre part, si nous vou-
lons multiplier a b par c, il faut
concevoir a b sous la forme d'une
ligne de cette manière

a

b et

b

Enfin, dans la division où le divi. seur est donné, nous nous représentons la grandeur à diviser sous la forme d'un rectangle dont un côté est diviseur et un autre quotient. b Ainsi, par exemple, si l'on a le b

rectangle à diviser para, on en ôte la largeur, et il reste pour quotient; ou, au contraire, si on vise a le même rectangle par b, on ôtera la longueur, et le quotient sera

a

Quant aux divisions où le diviseur n'est pas donné, mais seulement désigné par un rapport quelconque, comme; par exemple, lorsqu'on dit qu'il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., notons qu'il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont la première est l'unité, et la dernière la grandeur à diviser. Il sera dit en son lieu comment il faut trouver toutes les moyennes proportionnelles entre le dividende et l'unité. Il suffit d'avoir averti que nous supposons que de telles opérations ne sont pas encore achévées ici, puisqu'elles doivent l'être par une action indirecte et réfléchie de l'imagination, et que nous ne traitons maintenant que des questions à parcourir directement.

En ce qui concerne les autres opérations, elles peuvent être faites très-facilement de la manière dont nous avons dit qu'il faut-les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés; car bien que nous soyons

'Texte latitude, il est évident qu'il faut lire longitudo.

DESCARTES.

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libres, quand une difficulté se présente pour la première fois, d'en concevoir les termes comme des lignes ou comme des rectangles sans jamais leur attribuer d'autres figures, ainsi qu'il a été dit à la règle quatorzième, toutefois il arrive souvent, dans le cours de l'opération, qu'un rectangle, après avoir été produit par la multiplication de deux lignes, doit être bientôt conçu comme une ligne pour servir à une autre opération; ou encore que le même rectangle, ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être bientôt conçu comme un autre rectangle désigné au-dessus de la ligne qui doit le diviser.

Il est donc important d'exposer ici comment tout rectangle peut être transformé en une ligne, et réciproquement toute ligne ou même tout rectangle en un autre rectangle dont le côté soit désigné. Cela est très-facile aux géomètres, pourvu qu'ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous en composons avec quelque rectangle, comme ici, nous entendons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. De la sorte, en effet, tout se réduit à cette proposition : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné.

Quoique cette opération soit familière, même à ceux qui commencent l'étude de la géométrie, je veux néanmoins l'exposer, de peur de paraître avoir omis quelque chose. (Le reste manque.)

RÈGLE XIX.

C'est par cette méthode qu'il faut chercher autant de grandeurs exprimées de deux manières différentes que nous supposons connus de termes inconnus, pour parcourir directement la difficulté. De la sorte, en effet, nous obtiendrons autant de comparaisons entre deux choses égales.

RÈGLE XX.

Les équations trouvées, nous devons achever les opérations que nous avons laissées de côté, sans jamais nous servir de la multiplication, toutes les fois qu'il y aura lieu à division.

REGLE XXI.

s'il y a plusieurs opérations de cette espèce, on doit les réduire toutes à une seule, c'est-à-dire à celle dont les termes occuperont le plus petit nombre de degrés dans la série des grandeurs en proportion continue, selon laquelle ces termes doivent être ordonnés.

PAR

LA LUMIÈRE NATURELLE,

QUI, A ELLE SEULE,

ET SANS LE SECOURS DE LA RELIGION OU DE LA PHILOSOPHIE,
DÉTERMINE LES OPINIONS QUE DOIT AVOIR

UN HONNÊTE HOMME SUR TOUTES LES CHOSES

QUI PEUVENT FAIRE L'OBJET

DE SES PENSÉES, ET PÉNÈTRE DANS LES SECRETS

DES SCIENCES LES PLUS CURIEUSES.

AVANT-PROPOS.

que

Il n'est pas nécessaire l'honnête homme ait lu tous les livres, ni qu'il ait appris avec soin tout ce que l'on enseigne dans les écoles; bien plus, ce serait un vice de son éducation s'il avait consacré trop de temps aux lettres. Il a bien d'autres choses à faire dans la vie, et il doit la diriger de manière que la plus grande partie lui en reste pour l'employer à de belles actions que sa propre raison devrait lui enseigner, s'il ne recevait des leçons que d'elle seule. Mais il vient ignorant au monde; et comme les connaissances de son premier âge n'ont d'autre appui que la faiblesse des sens ou l'autorité des maîtres, il est presque impossible que son imagination ne soit remplie d'une infinité de pensées fausses avant que la raison puisse prendre l'empire sur elle; tellement que, par la suite, il a besoin d'un bon naturel ou des fréquentes leçons d'un homme sage, tant pour se délivrer des fausses doctrines qui se sont emparées de son esprit que pour jeter les premiers fondements de quelque science solide, et découvrir toutes les voies par lesquelles il peut élever ses connaissances jusqu'au degré le plus haut qu'elles puissent atteindre.

C'est ce que je me suis proposé d'enseigner dans cet ou

vrage; j'ai voulu mettre au jour les véritables richesses de nos âmes, en ouvrant à chacun la voie qui lui fera trouver en lui-même, et sans rien emprunter aux autres, la science qui lui est nécessaire pour régler sa vie, et pour acquérir ensuite, en s'exerçant, toutes les connaissances les plus curieuses que l'esprit humain puisse posséder.

Mais de peur que, dès le commencement, la grandeur de mon dessein ne frappe votre esprit d'un étonnement tel que vous n'ajoutiez pas foi à mes paroles, je vous avertis que ce que j'entreprends n'est pas aussi difficile qu'on pourrait se l'i— maginer; car les connaissances qui ne dépassent pas la portée de l'esprit humain sont unies entre elles par un lien si merveilleux, et peuvent se déduire les unes des autres par des conséquences si nécessaires, qu'il n'est pas besoin de beaucoup d'art et de sagacité pour les trouver, pourvu qu'on sache commencer par les plus simples et s'élever par degrés jusqu'aux plus sublimes. C'est ce que je tâcherai de démontrer ici à l'aide d'une suite de raisonnements si clairs et si vulgaires que chacun pourra juger que, s'il n'a pas découvert les mêmes choses que moi, cela vient uniquement de ce qu'il n'a pas jeté les yeux du meilleur côté ni attaché ses pensées sur les mêmes objets que moi, et que je ne mérite pas plus de gloire pour avoir fait ces découvertes que n'en mériterait un paysan pour avoir trouvé par hasard à ses pieds un trésor qui depuis longtemps aurait échappé à de nombreuses recherches.

Et certes je m'étonne que, parmi tant d'excellents esprits qui eussent réussi en cela beaucoup mieux que moi, aucun ne se soit trouvé qui ait daigné y porter son attention. et que presque tous aient imité ces voyageurs qui, abandonnant la route royale pour prendre un chemin de traverse, errent parmi les ronces et les précipices.

Mais ce que d'autres ont su ou ignoré, ce n'est pas ce que je veux examiner ici. Il suffira de noter que, toute la science que nous pouvons désirer fût-elle renfermée dans les livres, cependant ce qu'ils ont de bien se trouve mêlé à tant de choses inutiles et dispersé dans une masse de si vastes voluines,