SUR LES RELATIONS ALGÉBRIQUES DES FONCTIONS 。 «> Ө PAR M. DAVID (2) I. J'emploierai, pour exprimer les fonctions 0, la formule suivante, qui en forme la définition complète : m = les nombres et étant des entiers quelconques. On reconnaît facilement qu'elles satisfont à la relation dans laquelle k et h sont aussi des nombres entiers quelconques; (1) Lu dans la séance du 20 décembre 1883. (2) Depuis que ce Mémoire a été présenté à l'Académie, j'ai appris, par le Bulletin des sciences mathématiques (année 1882), que la question que j'ai traitée a été résolue antérieurement par un Anglais, M. Smith (t. I des Proceedings). Néanmoins, je n'ai pas cru devoir le supprimer, parce que les renseignements du Bulletin se bornent à une formule donnée sans démonstration, et que, d'ailleurs, ce Mémoire me semble présenter encore quelque intérêt, à divers points de vue. Ainsi, c'est un Mémoire au lieu d'un simple renseignement; les démonstrations y sont complètes; la formule du Bulletin n'est pas tout à fait la même que celle que j'ai trouvée; enfin l'ouvrage cité n'existe, en France, que dans un très petit nombre de bibliothèques. 80 SÉRIE. TOME VI, 2. 6 et celle-ci peut être considérée comme une seconde définition des mêmes fonctions, abstraction faite toutefois d'un facteur constant. En partant de cette formule, ou du moins d'une formule équivalente, M. Hermite a donné (Journal de mathématiques, 1858) une équation qui renferme la plupart des relations algébriques qui existent entre ces fonctions quand les arguments sont réduits à ne contenir que deux lettres. Cette équation m'a donné l'idée de rechercher si l'on ne pourrait pas renfermer de même, dans une seule équation, toutes les relations algébriques dont le grand nombre embrouille et allonge ce sujet, bien qu'il soit, au fond, assez simple. C'est cette question dont je présente la solution, et, pour représenter les centaines d'équations du premier chapitre du livre VII de la Théorie des fonctions elliptiques, de MM. Briot et Bouquet, il n'y à plus que trois équations, désignées ci-dessous par (A), (B), (C), auxquelles la première conduit avec une grande facilité. Ces équations renferment des indices P1, P2, P3, P4, et, 2, 3, 4. qui peuvent être réduits aux nombres 0 et 1, et, en leur donnant ces valeurs, on retrouve les équations de cette théorie. Avant d'entrer dans la question, je rappellerai la formule qui sert à exprimer l'une des fonctions au moyen d'une autre, Les deux indices ont été écrits l'un au-dessous de l'autre, ce que je ferai généralement dans la suite, parce que, comme on le verra, cette disposition est plus mnémotechnique. Il y a lieu de noter les cas particuliers suivants, d'abord la for et peuvent toujours être réduits qui montre que les indices aux nombres 0 et 1; en second lieu la suivante : d'où résulte la distinction des fonctions paires et impaires; et enfin la troisième : 0 ( — z) = 0(2) (7) ーソ qui permet de changer les signes des indices. Ces formules seront souvent utilisées, et le plus souvent sans les rappeler dans le texte à cause de leur grande simplicité. Les fonctions que nous considérons sont ainsi les quatre fonctions suivantes : les trois premières étant paires et la quatrième étant impaire; exprimées par un seul indice, elles sont désignées respectivement par II. Cela posé, l'équation fondamentale d'où l'on déduit toutes les autres et qui se rencontre à la page 486 de l'ouvrage de MM. Briot et Bousquet est la suivante : dans laquelle on a écrit 0, au lieu de 9,. Eile comprend 12 arguments qui sont composés avec 5 lettres. En premier lieu, nous réduirons à 4 le nombre de ces lettres. Pour cela il suffit de poser x + α = x1, x + b = x2, y + z + a + b = X3, Y − 2 = X 4, et en résolvant ces équations, il vient, après l'emploi des formu qui résulte directement de (4), en y remplaçant successivement A = (1-1) (12 + [3, (12, − 1) + 22 (142 − 1) + 23 (1o3 − 1). + 96 (144 − 1) + (14, -1)2 +(-1)2+(131)2 + (μ- Pour le deuxième terme, en considérant d'abord le premier facteur, nous avons à remplacer et la formule dont nous sommes servi ci-dessus doit être rempla et sont des nombres (Ex — §) (1 — εr] — 2) + (x − 8) (1 − 3r] — 2) + ('x — 8) (1 — 'r' — 0) + (ops — 1) (s — x1) De la même façon on trouve pour le troisième terme 0(8-x-x2) 6 (S— X, X3) 0(S— X2 X3) (S), 1 |