plus généralement (n+p) (n + p') − (n + p− 1) (n + p' + 1) = p' + 1 — p. En admettant p' p..., soit n = 10, p'=p=4, 14.14-13.15 1. Nous laissons à dessein de nouvelles combinaisons qui conduisent à des formules sans intérêt, comme celle-ci (n + 1) (n + 3) − n (n+4) = 3; soit n=10... 11.13 — 10.143, c'est-à-dire 143–140=3. NOTA. — On a dû remarquer que la plupart des propriétés signalées tiennent à la disposition symétrique des termes qui forment progression arithmétique. A ce point de vue, elles se rapprochent des propriétés connues sons le nom de Nombres de Bernouilli, et récemment étudiés par l'éminent professeur de Liége, M. Catalan, dans son ouvrage publié par la Société royale des Sciences, sous le nom de Mélanges ma hématiques (2e série, t. II, année 1867, Liége); mais plusieurs échappent à cette loi de symétrie, et nous y ajouterons la suivante, qui n'est pas une des moins remarquables. Théorème 10. Le produit de quatre nombres, consécutifs seulement deux à deux, c'est-à-dire du premier au deuxième et du troisième au quatrième, avec une lacune par suite du deuxième au troisième, augmenté: 1° du produit des deux termes du milieu; 2o de 1, donne le carré du produit de ces termes diminué préalablement de l'unité. n (n + 1) (n ÷ 3) (n + 4) + (n + 1) (n + 3) + 1 = [(n+1)(n+3)-12; de cette égalité on déduit une égalité déjà obtenue (n + 1) (n + 2) — n (n + 4) = 3, et par suite celle-ci (n + 1) (n + 2) (n + 3) — n ( n + 2) (n + 4) = 3 (n+2) ARTICLE 4. Des produits de cing nombres. Théorème 11. — Le produit de cinq nombres impairs consécutifs donne la 5 puissance du facteur qui tient le milieu de ces nombres rangés par ordre de grandeur croissante, si on l'augmente: 1° de vingt fois le produit des trois facteurs du milieu, 2o de seize fois le terme du milieu, qui est la moyenne arithmétique des cinq nombres. Ex. 3.5.7.9.11 + 20.5.7.9 + 16.7 = 7°, c'est-à-dire 10395 + 6300 + 112 = 46807. En général, on a (2n+1)(2n+3) (2n+5) (2n+7) (2n+9) +20(2n+3) (2n+5) (2n+7) +16(2n+5)=(2n+5)3. Si l'on supprime le terme commun 2n+5 qui occupe le milieu de la série, nous avons (2n+1)(2n+3) (2n+7) (2n+9) +20(2n+3) (2n+7) +16= (2n+5)', théorème analogue au théorème 6, et dont nous ne donnons pas l'énoncé. Théorème 12. Le produit d'une série de cinq nombres pairs rangés dans l'ordre ci-dessus indiqué sera aussi une 5 puissance de leur moyenne arithmétique, si l'on augmente le produit de quatre fois le produit des termes de rang impair et de seize fois la 3e puissance de la moyenne. et Ex. 2.4.6.8.10 +4.26.10 16.63657776, = 4.6.8.10.124.4.8.12 + 16.8385 32768, En général, 2n (2n+2) (2n+4) (2n+6) (2n+8) +4.2n(2n+4) (2n+8) + 16 (2n + 4)3 = (2n+4). Otons le terme commun 2n +4, et nous aurons 2n (2n+2) (2n+6) (2n+8) + 4.2n (2n+8) +16 (2n+4)2= (2n+4)*. Nous n'énoncerons pas le théorème correspondant; mais nous ferons remarquer que la comparaison des deux dernières formules conduit à l'identité 5(n+1)(n+3)+1-4n (n+4)= 16(n + 2)2, autre théorème applicable à la série des nombres consécutifs n, n + 1, n +2, n+3, n +4. Théorème 13.- Le produit de cinq nombres consécutifs quelconques donne également la 5 puissance de leur moyenne arithmétique, pourvu que l'on augmente ce produit de dix fois la moitié du produit des trois nombres intermédiaires et du terme milieu ou moyenne arithmétique des cinq nombres. En ôtant le terme commun n +2, il reste Nous omettons plusieurs résultats analogues aux précé dents et ne poussons pas plus loin cet exposé, craignant de poursuivre des recherches trop faciles ou déjà plus avancées et plus complètes; mais si j'acquiers la certitude qu'elles ne sont pas connues en tout ou partiellement, si d'ailleurs elles offrent un degré d'intérêt qui les rende dignes d'être plus attentivement étudiées, je continuerai à les présenter el à les apprécier dans leur singulière variété. Ainsi, je croirai devoir examiner ce qui se passe : 1° lorsque certains de ces facteurs deviennent égaux; 2o quand on prend la série des nombres figurés; 3° lorsqu'on veut s'élever à la loi générale de ces variations. LA LÉGENDE DU PRÊTRE JEAN PAR G. BRUNET I La légende du Prêtre Jean fut acceptée sans hésitation au moyen âge; elle n'est guère connue aujourd'hui que d'un petit nombre d'érudits. Peut-être ne sera-t-il pas hors de propos d'en citer ici quelques détails, sans prétendre en rien épuiser un sujet à l'égard duquel on pourrait écrire un gros volume. Vers le milieu du xe siècle, les conquêtes des croisés dans la Palestine étaient sérieusement menacées; la puissance des Sarrasins s'était accrue d'une façon effrayante; Édesse venait d'être enlevé d'assaut (1144); le découragement se répandait parmi les chrétiens. Soudain, se répandit en Europe le bruit qu'un puissant roi, fidèle à la religion de Jésus, et maître d'une partie de l'Asie, le Prêtre Jean, avait remporté de grandes victoires sur les Musulmans et qu'il marchait au secours des croisés. On croit facilement ce qu'on désire, et l'appui du monarque dont l'existence venait de se révéler ne fut pas mise en doute. Les papes voulurent entrer en relation directe avec lui; Alexandre III lui adressa, le 27 septembre 1177, une |