générateur et qu'il s'agisse d'obtenir la fonction dérivée, le caractère général auquel on reconnaîtra cette fonction est le suivant :

Quels que soient les changements successifs qui s'opèrent dans l'élément générateur, on peut toujours considérer cet élément dans l'un quelconque des états par lesquels il passe, et, l'accroissement de la variable restant arbitraire, concevoir que cet état persiste sans altération. Dans cette hypothèse, la grandeur engendrée a pour mesure le produit de l'accroissement de la variable par une certaine quantité dépendante, non de l'accroissement, mais de la variable. Cette quantité exprime l'état initial de l'élément générateur, et elle constitue la fonction cherchée.

Soit, par exemple, une fonction quelconque,

z= f(x)+cons'.

Imaginons qu'elle représente une aire plane comprise entre l'axe des x, une courbe déterminée par la nature de la fonction et deux ordonnées de cette courbe.

L'une des ordonnées étant supposée fixe, l'autre sera l'élément générateur de la fonction. Soit y cette ordonnée, on aura généralement :

y = f'(x).

Ainsi tandis que l'équation finie

z= f(x) + cons'.

donne, pour chaque valeur de la variable, l'état correspondant de la surface z, l'équation différen

fournit en même temps la valeur correspondante de l'ordonnée génératrice y.

Dans une courbe, la touchante est l'élément générateur de l'ordonnée (1).

Dans le cercle, la surface est fonction du rayon: l'élément générateur est la circonférence,

De même le volume de la sphère a pour élément générateur sa surface,

La quantité de mouvement, considérée comme fonction du temps, a pour élément générateur la force tangentielle. Si l'une est donnée à chaque instant par la condition

mv = &(t)

l'autre a constamment pour expression corrélative

m

'dv

dz

'(0).

(1) L'élément générateur régit ou règle la génération.

En général, lorsqu'il s'agit d'évaluer des aires ou des volumes, il est facile de concevoir un mode de génération qui mette en évidence l'élément générateur. Toutefois, ce n'est là qu'une circonstance exceptionnelle, et dans la plupart des cas, on chercherait en vain à fixer d'une manière directe et précise la nature de cet élément. Il convient alors de ne voir en lui qu'une grandeur abstraite. Son état, exprimé par une fonction, peut seul être introduit dans le calcul. C'est cette fonction qu'il importe de déterminer, et tel est l'objet du calcul différentiel.

Lorsque la fonction est donnée, la différenciation fournit immédiatement l'expression de l'élément générateur. Dans l'ordre inverse, c'est-à-dire dans le calcul intégral, l'élément générateur devient la base sur laquelle on reconstruit la fonction.

Les procédés du calcul différentiel n'exigent pas que la fonction soit connue pour que l'on puisse obtenir la fonction dérivée. Il suffit d'opérer sur le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, et de chercher ce que devient ce rapport lorsqu'on y annule l'accroissement. Les termes qui s'évanouissent doivent être supprimés, non parce qu'ils sont négligeables relativement aux autres, ce qu'on suppose habituellement dans la méthode des infiniment petits,

mais, en réalité, parce qu'il faut rigoureusement en faire abstraction pour parvenir à dégager la fonction dérivée, c'est-à-dire l'expression numéri– que de l'élément générateur.

Proposons-nous comme application la recherche du centre de gravité d'un triangle quelconque ABC, dont la hauteur est h et la base b.

Soit mn et pq deux parallèles à la base, z la distance de la droite mn au sommet C, Az l'écartement des deux parallèles.

Si nous représentons par M le moment du triangle mCn, pris par rapport à la droite LL' menée par le sommet parallèlement à la base, nous aurons évidemment :

Posons maintenant Azo, et observons que de

là résulte mn=pq, il viendra

S'agit-il du triangle ABC, on a z=h, et désignant par z' la distance du centre de gravité à la droite

élément sera, si l'on veut, un rectangle ayant pour base mn et pour hauteur z. Concevons que le plan de ce rectangle soit normal à celui du triangle ABC. Dans son déplacement, il engendrera une .pyramide quadrangulaire ayant h pour hauteur, et pour base le rectangle bh. Il est d'ailleurs évident que la solidité de cette pyramide représente numériquement le moment du triangle. On a donc directement