Dans la première, on considère la fonction et la loi de dépendance qui régit chacune de ses valeurs particulières. Cette loi est explicite. Dans la seconde, c'est le rapport des accroissements de la fonction à ceux de la variable qui se trouve exprimé. La loi générale qui régit ce rapport est contenue implicitement dans l'équation (1); l'équation (2) la met en évidence.

Reprenons le développement :

et remarquons qu'il est complétement déterminé par cela seul qu'on en connaît le premier terme. Or, pour dégager ce premier terme, il suffit d'annuler l'accroissement Ax. En conséquence, si l'on

dy

représente par le symbole ce que devient le

dx

premier membre de la relation (2) lorsque les accroissements particuliers s'annulent, cette relation peut être suppléée par l'équation différentielle :

et, sous cette forme, elle conserve toute sa généralité.

Soit b, une valeur particulière de Ax. Le rap

port

Ay

b

possède une propriété générale. Veut-on

obtenir explicitement l'expression de cette propriété, il faut faire usage de la relation (2) et substituer b à Ax.

Ay

Observons que la loi du la loi du rapport comprend

Ay

b

implicitement celle du rapport m étant un

mb'

nombre entier quelconque. La substitution de b à Ax doit donc être considérée comme faisant exprimer à la relation (2) l'ensemble des propriétés

générales qui appartiennent au rapport

Ay

mb

Plus

la quantité best supposée petite, plus cet ensemble prend d'extension. Néanmoins il ne peut jamais embrasser toutes les propriétés du rap

Ay

port Celles qui correspondent à des valeurs Ax

de Ax moindres que b, ou qui n'en sont pas des multiples, lui échappent constamment. Ce n'est donc qu'en faisant abstraction de toute valeur particulière, c'est-à-dire en annulant ▲x, que l'on peut parvenir, comme nous l'avons vu d'abord, à une expression complète de la loi générale. Toute Ay propriété du rapport , correspondante à une Ax'

valeur particulière de l'accroissement Ax, peut être rendue explicite par une substitution convenable, effectuée dans la relation (2). Quelle que

soit cette propriété, elle se trouve implicitement comprise et exprimée dans l'équation différentielle.

La relation (2) se prête explicitement à chacune des particularisations que comporte la loi qui la régit; mais dès qu'elle est particularisée, elle devient dépendante de l'accroissement que l'on considère, et elle n'offre plus qu'une trace incertaine de l'universel qui constitue son essence primitive. Cependant il est une circonstance capitale

Ay

qui caractérise la loi du rapport et qui la

Δα

détermine en présentant l'universel, qu'elle renferme et qui la distingue essentiellement, dégagé de toute particularisation. L'équation différentielle exprime cette circonstance.

Tel est, nous paraît-il, le point de vue auquel M. Bordas s'est placé pour établir la métaphysique du calcul différentiel. Quant aux règles de ce calcul et aux différentes applications qu'il comporte. elles n'exigent point, en général, que l'on voie

sements s'annulent. Cependant il peut être utile de

préciser la nature du lien qui rattache l'équation

différentielle à son intégrale. Nous essaierons d'exposer deux des aperçus sous lesquels la question se présente.

S II.

Notion sur la fonction dérivée considérée comme exprimant, par rapport à la fonction primitive, l'état de l'élément générateur.

Lorsqu'on prend à son origine l'accroissement d'une fonction continue, on remarque que cet accroissement tend à se produire proportionnellement à deux facteurs; l'un est la fonction dérivée, l'autre l'accroissement de la variable. Ce qui empêche que cette loi si simple régisse les accroissements finis, ce sont les variations successives de la fonction dérivée. Concevons que l'on substitue à la fonction dérivée le nombre qui exprime sa valeur initiale, et que l'on considère ce nombre comme la dérivée constante d'une fonction particulière. En ce cas, quel que soit l'accroissement de la nouvelle fonction, il aura pour mesure le produit de la fonction dérivée par l'accroissement donné à la variable. De là résulte une loi de génération qu'il est facile de se représenter; en vertu de sa permanence, cette loi sub

siste à l'origine de tout accroissement, et elle s'applique par conséquent à la fonction primitive.

Restons dans l'hypothèse d'une dérivée constante et considérons les deux éléments qui concourent à la génération : l'un est l'accroissement de la variable; c'est de lui que dépendent respectivement chacun des accroissements particuliers de la fonction. L'autre, au contraire, ne particularise aucun accroissement, et il les régit tous; c'est l'élément générateur proprement dit.

la

A l'origine, la loi de l'accroissement est, pour fonction à dérivée constante, la même que pour la fonction primitive; les deux fonctions subissent donc les mêmes conditions initiales, et il suffit que l'élément générateur soit déterminé dans l'une d'elles pour que la même détermination s'applique immédiatement à l'autre.

La conception de l'élément générateur s'éten– dant à une fonction quelconque, on observera que la fonction dérivée fournit, pour chaque valeur de la variable, l'expression de l'état particulier dans lequel cet élément concourt à la génération. Cette expression peut seule entrer dans le calcul, et c'est elle qu'il importe de connaître. Quant à la nature de l'élément générateur, il est impossible de la préciser en général, et, pour qu'elle se manifeste, il faut certaines circonstances particulières. Supposons que l'on connaisse a priori l'élément