qu'apporte le symbole? Fermat applique sa méthode aux tangentes, ce qui cause un malen– tendu de la part de Descartes (1), et par suite une discussion vive, mais en soi peu importante, et d'ailleurs étrangère à notre sujet, puisque Fermat est en dehors de l'école cartésienne, et qu'il n'est ici question de lui qu'accidentellement.

Barrow a une manière plus simple de mener les tangentes. Est-ce celle de Fermat, qu'il aurait perfectionnée, ou en est-il le seul auteur? Il l'a publiée sur le conseil d'un ami, et à titre d'appendicule (2). Il fait usage de deux indéterminées E, A. Qu'on veuille tirer la tangente MT à la circonférence

DMR, il suffit de trouver la sous-tangente TN. J'élève une ordonnée CA, infiniment voisine de NM, et du point M je mène MP parallèle à TR. Le petit

(1) T. VII, p. 6.

(2) « Ita propositi nostri priore (quam innuebamus) parte quomodocumque defuncti sumus. Cui supplendæ, appendiculæ instar, subnectemus a nobis usitatum methodum ex calculo tangentes reperiendi. Quamquam haud scio, post tot ejusmodi pervulgatas atque protritas methodos, an id ex usu sit facere. Facio saltem ex amici concilio; eoque libentius, quod præ cæteris, quas tractavi, compendiosa videtur ac generalis. » Lecliones geometricæ, lect. x. p. 80, an. 1668.

arc MA pouvant être considéré comme une ligne droite, le triangle MPA est semblable à TNM. Je

າ

l'équation de la circonférence y2 2ах 2ax-x2, je substitue y+A et x+E à la place de y et de x, ce qui donne y2+2Ay+A2 = 2ax+2αE-x2- 2Ex

E2. A cause de y2 = 2ax

=2ax-x2, et de A2 et E' qu'il faut annuler, j'ai Ay = aE aE-Ex=E(a-x), ou

Toutefois il reste encore deux pas à faire : trouver le moyen d'obtenir immédiatement sur une

A

fonction donnée la valeur de sans être obligé

E'

de faire les substitutions, développements et réductions, et puis de lui adapter le symbole ou al

dy

gorithme Newton fait le premier, vers 1664

dx

ou 1665, par la méthode des fluxions, mais imparfaitement, .parce qu'ils ne peuvent être bien faits l'un sans l'autre, et qu'il manque le second; car il est impossible de reconnaître un symbole

dans les lettres pointées, x, x, x, ainsi de suite, employées pour désigner les divers ordres des fonctions différentielles.

Mais, entre 1674 et 1677, Leibnitz les fait tous les deux à la fois. Que dis-je? Il n'est pas même, comme Newton, jeté sur la voie par Barrow, car il déclare n'avoir connu le triangle différentiel de celui-ci, qu'après l'avoir lui-même imaginé, et être parvenu à la découverte complète. « A peine je commençais d'aborder ces études, lorsque, portant les yeux sur une démonstration relative à la mesure de la surface de la sphère, je fus soudainement frappé d'une grande lumière. Je voyais en général que la figure formée des perpendicu– laires à la courbe, successivement appliquées à l'axe (dans le cercle les rayons), était proportionnelle à la surface du solide engendré par la rotation de cette figure autour de l'axe. Ravi de ce premier théorème, et ignorant ce qu'on pouvait avoir trouvé d'analogue, j'imaginais aussitôt un triangle que, dans chaque courbe, j'appelais caractéristique, et dont les côtés fussent indivisibles, ou, pour parler avec plus d'exactitude, infiniment petits, c'est-à-dire des quantités différentielles; d'où j'établissais sur-le-champ, et sans la moindre difficulté, une foule de théorèmes qu'ensuite je rencontrai en grande partie dans Grégori et dans Barrow. Je ne me servais pas encore du calcul al

gébrique; quand je l'employai, je découvris bientôt ma quadrature arithmétique et beaucoup d'autres choses. Mais je ne sais comment le calcul algébrique ne me satisfaisait point; bien des parties que j'aurais voulu traiter par l'analyse, j'étais obligé de les présenter au moyen de figures, malgré leur embarras, jusqu'à ce qu'enfin je tombai sur le véritable supplément de l'algèbre pour les quantités transcendantes, je veux dire sur mon calcul des infiniment petits, que j'appelle diffé– rentiel, ou sommatoire, ou tétragonistique, et je crois, d'une manière assez convenable, Analyse des indivisibles et des infinis. Alors tout ce qui, dans ces recherches, m'avait paru étonnant, ne fut plus qu'un jeu. Non-seulement s'ouvrirent de belles voies abrégées, mais se fonda la méthode si générale qui tout à l'heure a été exposée, et par laquelle on détermine, autant qu'il est possible, soit les quadratices, soit les autres lignes algébrique's qu'on propose, soit les transcendentes (1). »

(1) Mihi contigit adhuc tironi in his studiis, ut ex uno aspectu cujusdam demonstrationis de magnitudine superficiei sphæricæ, subito magna lux oboriretur. Videbam enim generaliter figuram factam ex perpendicularibus ad curvam, axi ordinatim applicatis (in circulo radiis) esse proportionalem superficiei ipsius solidi, rotatione figuræ circa axem geniti. Quo primo theoremate (cum aliis tale quod innotuisse ignorarem) mirifice delectatus, statim comminiscebar triangulum, quod in omni curva vocabam characteristicum, cujus latera essent indivisibilia (vel accuratius loquendo infinite parva) seu quantitates differentiales; unde statim in

Par cette exposition des degrés que suit la découverte du calcul différentiel avant Leibnitz, et de la manière dont lui l'emporte d'un seul coup, on voit avec combien peu de fondement Lagrange (1) et Laplace (2) ont proclamé Fermat le premier, le véritable inventeur. Aux yeux de M. Biot, Newton même ne l'est pas, Newton, qui non-seulement emploie les indéterminées comme Fermat, comme Barrow, mais qui, de plus, reconnaît dans toute fonction l'existence de la dérivée, fournit le moyen de l'obtenir, qui, par conséquent, se sépare d'eux, et qui ensuite franchit un intervalle immense.

Après avoir discuté avec autant de sagacité que de soin l'accusation adressée, en 1699, par Fatio,

numera theoremata nullo negotio condebam, quorum partim postea apud Gregorios et Barrovium deprehendi. Necdum vero algebraico calculo utebar, quem cum adjecissem, mox quadraturam meam arithmeticam, aliaque multa inveni. Sed nescio quomodo non satisfaciebat mihi calculus algebraicus in hoc negotio, multaque quæ analysi voluissem, præstare adhuc cogebar figurarum ambagibus, donec tandem verum algebræ supplementum pro transcendentibus inveni, scilicet meum calculum indefinite parvorum, quem et differentialem, aut summatorium, aut tetragonisticum, et, ni fallor, satis apte analysim indivibisilium et infinitorum voco quo semel detecto, jam ludus jocusque visum est quidquid in hoc genere ipse antea fueram admiratus. Unde non tantum insignia compendia, sed et methodum generalissimam paulo ante expositam condere licuit, qua sive quadratices, sive aliæ quæsitæ lineæ algebraicæ, vel transcendentes, prout possibile est, determinantur. » Op., t. III, p. 193.

(1) Leçons sur le calcul des fonctions, p. 321, édit. nouv., 1806. (2) Essai phil. sur les probabilités, p. 59, édit. 5o, an 1825.