par le calcul intégral, qui lui restitue la partie éliminée ou supposée telle, et rétablit la fonction dans son intégrité (1).

Les substances ont, dans leur universel, un point commun, une mesure exacte, quoique non calculable, qui est une mesure de perfection. L'universel des esprits, c'est d'être intelligents et voulants; celui des esprits et des corps, c'est simplement d'être. Les lignes droites et courbes, et plus généralement les fonctions, ont dans leur universel un point commun et une mesure exacte, qui est une mesure de quantité; leur universel, c'est d'être continues. Si les substances et les fonctions ne se formaient que d'universel, elles seraient toutes et entièrement commensurables, en sorte que, de substance à substance et de fonction à fonction, il n'y aurait que du plus au moins; mais comme elles se composent aussi d'individuel, il arrive que nulle substance ne se peut complétement mesurer, et qu'un nombre fort restreint de fonctions le peuvent. Pour l'arc d'une courbe quelconque on a l'expression transcendante exacte en lignes droites, dz=Vdy+dx3, z étant l'arc, y, x, des coordonnées rectilignes; quant à l'expression algébrique, elle est rarement possible. Il nous

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(1) Pour de plus amples développements sur les principes ou la métaphysique du calcul différentiel, voir, à la fin de l'ouvrage, la théorie de l'infini.

suffit ici que toutes les fonctions soient commensurables dans l'une de leurs parties, pour conclure avec Leibnitz (1) contre Descartes, que toutes les courbes appartiennent à la géométrie et tombent sous le calcul. « Descartes admet dans la géométrie toutes les courbes dont la nature peut être exprimée par quelque équation algébrique, c'està-dire d'un degré déterminé. Il a raison jusque-là ; mais, tout comme les anciens, il pèche en ceci, qu'il exclut de la géométrie une infinité de courbes qui peuvent cependant se décrire exactement, et les appelle mécaniques, parce qu'il ne peut pas les ramener à des équations et les traiter d'après ses règles. Mais il faut remarquer que ces courbes, comme la cycloïde, la logarithmique et autres de cette espèce, qui sont du plus grand usage, | euvent aussi bien être exprimées par le calcul, et même par des équations finies, mais non pas algébriques, c'est-à-dire d'un degré déterminé, mais bien d'un degré indéterminé ou transcendant, et qu'ainsi, elles peuvent être soumises au calcul tout comme les autres. Il est vrai que ce calcul est d'une autre nature que celui qui est vulgairement . employé (2). » L'erreur de Descartes venait de ce

(1) Op., t. V, p. 396.

(2) << Cartesius omnes curvas in geometriam recipit, quarum natura æquatione aliqua algebraica, seu certi alicujus gradus exprimi possit. Recto quidem, sed in eo peccavit non minus quam veteres, quod alias infinitas,

qu'il n'avait envisagé que les rapports de l'individuel dans la quantité continue, rapports qui sont particuliers à l'égard des rapports de l'universel, quoiqu'ils soient généraux à l'égard des rapports de la quantité discontinue.

Leibnitz publia les premiers éléments du calcul différentiel dans les Actes des savants de Leipsic, du mois d'octobre 1684 (1). On les trouve aussi dans une lettre du 21 juin 1677, qu'il avait écrite sept ans auparavant à Oldenburg, et qui fut peutêtre remise à Newton (2). Il y déclare même qu'il possède ce calcul depuis longtemps, jam a multo tempore. Outre l'antécédent fondamental de l'analyse des variables de Descartes, on peut dire que certaines façons particulières d'évaluer les lignes, les surfaces, les solides courbes, que le procédé des maxima et minima, celui des tangentes, avaient été un acheminement au calcul différentiel, de même que les lieux géométriques à l'analyse des variables.

quæ tamen etiam accurate describi possunt, ex geometria exclusit, et mecanicas vocavit, quia scilicet eas ad æquationes revocare, et secundum suas regulas tractare non poterat. Verum sciendum est, istas ipsas quoque, ut cycloidem, logarithmicam, aliasque id genus, quæ maximos habent usus, posse calculo, et æquationibus etiam finitis exprimi, at non algebraicis, seu certi gradus, sed gradus indefiniti, sive transcendentis. Et ita eodem modo posse calculo subjici ac reliquas: licet ille calculus sit alterius naturæ quam qui vulgo usurpatur. » Ibid., t. III, p. 159.

(1) P. 250. Op. Leib., t. III, p. 167.

(2) Ibid., p. 80.

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LE CARTESIANISME.

Pour carrer le cercle, les anciens lui inscrivaient et lui circonscrivaient un polygone, dont ils doublaient successivement les côtés, épuisant ainsi par degrés l'espace entre les périmètres des deux polygones et la circonférence du cercle; ensuite, pour le cercle, ils prenaient l'un des deux polygones. De là le nom d'exhaustion donné à cette marche. Eutocius, qui vivait dans le cinquième siècle, introduisit l'infini, et eut l'idée de considérer le cercle comme un polygone d'une infinité de côtés. Cette innovation, alors sans conséquence, reçut, mille ans plus tard, un développement de Képler (1), pour qui le cercle se compose d'une infinité de triangles ayant leur sommet au centre et leur base à la circonférence, le cylindre d'une infinité de prismes triangulaires de même hauteur, ainsi des autres surfaces et solides. Voilà la méthode des indivisibles, dont Cavalieri (2) et Roberval (3) firent aussitôt un bel usage, mais dont ordinairement ils sont mal à propos réputés les inventeurs. Elle prend un nouveau tour entre les mains de Wallis (4), et, dans celles de Newton,

(1) Nova stereometria, etc. 1615.

(2) Geometria indivisibilium continuorum nova quadam ratione promola. 1635.

(3) Traité des indivisibles, t. VI du Recueil des Mémoires de l'Académie des Sciences de 1666 à 1699.

(4) Arithmetica infinitorum. 1655.

LE CARTESIANISME.

139

plus grande (1). Or, la transition par polygone à une courbe, d'un povolume terminé par une surface fond celle que le calcul différentiel s quadratures, cubatures et rectificas la mise en évidence de l'universel quelconque.

na et les minima, dont le germe se lans la Stéréométrie de Képler, et qui raités par Fermat, offrent, pour l'arération, une ébauche de l'opération - Supposons une ligne a, qu'il faille ux parties telles que leur produit soit. n (2). Désignant par x l'une des parsera a―x et le produit ax-x2. Que n accroissement arbitraire E, il vient 2xE-E2. De ce que E est indéu'on peut le rendre aussi petit qu'on ermis d'écrire ax+aE- x2- 2xE

ou réduction faite, et considérant le

nme nul, aE — 2xE=0, et x =

1

2

a.

là ce qui se pratique dans l'analyse e, sauf la modification de la forme

er æquationes numero terminorum infinitas, communi69. — Opuscula, t. I.

p. p. 63.