géométriques, on trouve les équations de la ligne droite et des quatre sections coniques. Voici ses propres paroles touchant la ligne droite: «Soit NH

une droite donnée de position, et N un point donné sur cette droite. Posons NH égal à la quantité variable A, et suivant l'angle donné NHI, menons la droite HI, égale à une autre quantité varia

ble E. Si l'on fait

B D

A

E'

le point I se trouvera sur

une droite déterminée par la relation DA = BE. << En effet, on aura B: D: A: E. Donc le rapport

A

E

se trouve déterminé, et d'ailleurs l'angle NHI

est donné. Donc le triangle NIH est déterminé en grandeur, et par conséquent aussi l'angle INH. Mais la droite NH et le point N sont donnés de position; donc la droite NI sera également donnée de position, et il sera facile de la construire (1). »

(1) « Recta data positione, sit NHM, cujus ponctum datum N. NH æquetur quantitati ignotæ A, et ad angulum datum NHI, elevata recta HI sit

e passant par l'origine des coorici le point N. On ne saurait donc n'ait fait la même découverte que si pénible, si chétive, si peu exi qui la saisirait sans la connaître resque une seconde fois; tandis rtes, elle est dans sa puissante lue, malgré sa brièveté, se jouer manière dont il l'expose, et par 'il résout. Cette différence énorme ur écarter le soupçon d'emprunt de ou de l'autre, soupçon qui, du amais élevé. N'oublions pas d'obecherches depuis longtemps pourlieux géométriques, furent une moyen de les représenter par

e droite, les anciens, faute de sym

ati ignotæ E. B in A æquetur D in E. Punctum I positione datum. DA § BE

D, ita A ad E. Ergo ratio A ad E data est, et datur us igitur NIH specie, et angulus INH. Datur autem I positione. Ergo dabitur NI positione, et erit facilis s planos et solidos isagoge, Oper., p. 1.

boles, n'ayant surpris le continu que dans la génération du cercle, de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole, réservèrent exclusivement à ces courbes le nom de géométriques, et appelèrent mécaniques les autres qu'ils envisagèrent, savoir : la conchoïde, la cissoïde, la quadratrice et la spirale, dont ils n'obtenaient les points que un à un. Or, Descartes admet bien au rang des géométriques la conchoïde et la cissoïde, « parce qu'on peut les imaginer décrites par un mouvement conlinu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent et dont les derniers sont entièrement réglés par ceux qui les précèdent, car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure ; » mais il renvoie « la quadratrice et la spirale parmi les mécaniques, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement (1). » En effet, dans leurs équations, qui renferment la circonférence et des parties de la circonférence, le rayon et des parties du rayon, il entre un rapport incommensurable, je dis incommensurable, dans le degré de généralisation où Descartes le considère, et exprimé par les symboles dont il se sert, les chiffres, ou les lettres, qui représentent seulement des lignes droites.

(1) T. V, p. 335.

Mais s'ensuit-il que ce rapport ne puisse être mesuré d'aucune manière, ou considéré dans une plus haute généralité et exprimé par d'autres symboles? L'arc et le sinus, algébriquement incommensurables, ne cessent-ils pas de l'être à la limite ou dans l'ordre différentiel, puisque alors leur rapport est l'unité, et qu'ils peuvent être pris l'un pour l'autre ?

2

Je remarque que le symbole de la quantité continue, dû à Descartes, ne représente point, par exemple, la circonférence en soi, mais telle ou telle circonférence. Dans x2+y' — R2 = 0, je puis attribuer à x, y, R, une infinité de valeurs indifféremment, néanmoins je suis obligé de leur en attribuer toujours une, je veux dire une valeur déterminée, par conséquent d'exprimer une cer– taine circonférence, et non la circonférence même. Il en est ainsi pour les équations de toutes les courbes, et enfin pour une fonction variable quelconque, nom que l'on donne à la quantité continue et à son symbole. C'est l'individuel de la courbe ou de la fonction, qui est représenté, et non point l'universel, lequel, d'après cela, reste privé de symbole, et qui n'a point été envisagé mathématiquement par Descartes. Il s'est arrêté à moitié chemin, et n'a vu qu'une partie de ce qu'il fallait voir. Leibnitz a poursuivi et vu le tout. Il s'est emparé de l'universel et lui a adapté un symbole, ce

qui forme le calcul différentiel, dont l'objet est de dégager l'universel dans les fonctions. Appliqué à y2 + x2 — R2 = 0, il donne ydy + xdx=0, équation qui n'exprime aucune circonférence particulière, mais la circonférence générale, dæ, dy, étant indépendants de toute grandeur déterminée ou dy X il représente

finie. Quant à leur rapport

dx

y

bien une grandeur déterminée, mais c'est la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à la circonférence fait avec l'axe des abscisses. Si dans ydy + xdx = 0, il se rencontre encore les grandeurs finies y, x, c'est que dans la quantité, non plus que dans la substance, l'universel ne peut s'isoler totalement et former un être à part. Il emporte toujours par quelque côté l'individuel avec lui, tout comme l'individuel emporte l'universel, qu'il comprend implicitement, et qu'il cache, ce qui n'empêche pas qu'on puisse s'occuper de l'un ou de l'autre séparément. L'individuel est-il donné immédiatement? la fonction ne contientelle que le symbole cartésien ou algébrique? on s'élève à l'universel par le calcul différentiel, qui le met en évidence, le rend explicite, en éliminant la partie de l'individuel dont il était couvert. Est-ce l'universel qui est immédiatement donné? la fonction contient-elle le symbole leibnitzien ou transcendant? On descend à l'individuel