viens pas avoir seulement vu la nt que j'ai été en France (1). » Sur ton, qu'il connaissait la théorie les avant que les théorèmes de le jour, quoiqu'il ne l'eût publiée us tard, nous avons cru devoir lui a rien pris. Descartes assure ses que pendant son séjour en ire avant 1629, par conséquent rente-trois ans, il n'a point vu nifeste par l'histoire de sa vie fait toutes ses découvertes dans es; il déclare même à Mersenne lus s'occuper de cette science. mes, lui dit-il, je vous en enverrai proposer aux autres, si vous le suis si las des mathématiques, et ant si peu d'état, que je ne saue la peine de les résoudre moirrions-nous ne pas lui reconnaître e son côté les mêmes choses que ue Harriot, dont l'écrit, Artis anan'est publié qu'en 1631? Donc, le mérite de ces deux auteurs, il la théorie générale des équations, le troisième livre de sa géométrie,

lui appartient tout entière. D'ailleurs ce sont vingt-cinq ou trente pages si nettes, si simples, qu'elles semblent exclure plusieurs sources. D'un seul coup cette théorie est poussée si loin, qu'elle demeure longtemps sans recevoir d'autres perfectionnements que ceux de Newton. Et cependant elle n'est point la principale œuvre mathématique de Descartes.

Découvrir, au moins s'il s'agit de principes, ce qui constitue les grandes découvertes, c'est s'élever à des rapports plus généraux. La quantité peut être considérée comme discontinue, ou comme. continue. Les portions de ligne droite ou de ligne courbe offrent des rapports de la quantité discontinue; la ligne droite, les lignes courbes entières, des rapports de la quantité continue. Il est évident que les premiers sont moins généraux que les derniers, puisque la ligne droite renferme toutes les portions possibles de lignes droites, les courbes toutes les portions possibles de courbes, et que, par là, elles sont d'une nature supérieure à la nature de ces portions. Or, Descartes conçoit de représenter les rapports de la quantité continue par des symboles. Soit la circonférence ABCD. Abaissons sur le diamètre AC les perpendiculaires mp, m'p', m" p", m" p", m

p

m" p, etc., les points m, m', m", m'", m'

m etc., de la circonférence sont déterminés

par les longueurs des perpendiculaires correspondantes, et les longueurs des perpendiculaires par

etc.

celles des lignes op, op', op', op", op"", op" qui diminuent à mesure que les perpendiculaires augmentent, et réciproquement. Rien n'empêche de considérer les op, op', etc., comme une seule ligne qui varie, de même les mp, m'p', etc.; représentons l'une par x, l'autre par y, symboles affectés aux quantités changeantes; omp, om' p', etc., étant des triangles rectangles, et la ligne om la même dans tous, c'est-à-dire constante, désignons-la par R, il vient R= x2+y, c'est l'expression de la circonférence; elle en renferme tous les points. Qu'on la résolve par rapport à y, on a y=VR — x2. Si x = 0, y = R, ce qui donne les points BetD;+R pour B, — R pour D; si x=+ R, y = 0, ce qui donne les points Cet A;+R pour C, R pour A. Que x croisse

d'une manière continue depuis 0 jusqu'à ± R, y décroissant d'une manière aussi continue depuis +R jusqu'à 0, l'on aura les points intermédiaires. L'équation du cercle peut avoir différentes formes, selon la situation des axes AC et BD, auxquels on la rapporte, mais elle est toujours du second degré entre deux variables; il en est ainsi des équations de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole; et qu'on discute l'équation générale du second degré à deux variables Ay2+Bx2+Cxy+Dy+Ex+F=0, on est conduit, selon la valeur et les signes des coefficients, à l'équation de l'une des quatre sections coniques. Dans l'équation du premier degré, Ay+Bx+C=0 est la ligne droite. Enfin toute équation à deux variables représente une ligne droite ou courbe. Les équations à trois variables représentent les surfaces. Quoique au delà d'un nombre très-limité de variables, on ne puisse, dans la quantité matérielle se rien figurer qui ré– ponde aux équations, celles-ci n'en expriment pas moins la quantité continue intelligible.

Maintenant qu'il s'agisse de découvrir un rapport quelconque de cette quantité, soit dans les lignes, les surfaces, les solides, soit dans les mouvements, soit où l'on voudra, on les écrit dans leurs symboles, et l'interprétation de ces symboles révèle le rapport demandé, ce qui permet à la pensée d'embrasser tous les rapports et égale sa puissance

à la nature même des choses. C'est pourquoi d'Alembert s'écrie: «Idée des plus vastes et des plus heureuses qu'ait eues l'esprit humain, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non-seulement dans la géométrie sublime, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques (1). « Cette découverte, dit Dutens, a été d'une si grande utilité aux sciences, que les deux plus grands géomètres de l'Europe, M. d'Alembert et M. de Lagrange, m'ont assuré que tout ce que Newton a fait depuis pour l'avancement des sciences ne peut être comparé à ce trait seul de Descartes (2). »

Sans doute avant Descartes on s'était occupé d'équations à plusieurs variables ou inconnues, c'est-à-dire, sous un autre nom, d'analyse indéterminée; mais personne n'y avait aperçu le symbole de la quantité continue. Il est vrai qu'on l'y aurait vainement cherché avant l'introduction récente des lettres, seules représentatives du contenu; car les chiffres et les autres symboles, quels qu'il soient, des nombres, ne représentent que le discontinu.

Fermat néanmoins l'y reconnaît en même temps que Descartes. Dans son introduction aux lieux

(1) Encycl., disc. prél., p. 42.

(2) Origine des découvertes attribuées aux modernes, t. II, p. 170, 4 édit. Pa: is, 1812.