fausses qu'il s'y trouve, deux signes ou deux signes qui s'entre-suivent. Comme en x* 4x19x+16x120=0, =0, à cause qu'après +x il y a 4x3, qui est un changement du signe +en, et après 19' il y a 16x, et après +16x il y a 120, qui sont encore deux changements, on connaît qu'il y a trois vraies racines et une fausse, à cause que les deux signes de 4x3 et 19x3 s'entre-suivent (1). » Fermat prend le change et lui reproche d'avancer faussement qu'il y a autant de racines vraies ou positives que de variations de signes, et de racines négatives que de permanences. Descartes le nie avec force : « J'ai dit seulement, répondit-il, qu'il y en peut autant avoir, et j'ai montré expressément quand c'est qu'il n'y en a pas tant, à savoir, quand quelquesunes de ces vraies racines sont imaginaires (2). En effet, il suffit d'ouvrir les yeux pour s'en convaincre. La même objection est renouvelée par Rolle (3). Six ans après, il est vrai, dans son traité d'algèbre (4), il déclare, avec une bonne foi digne d'éloge, qu'il n'attaquait point Descartes, mais ceux qui croyaient sa règle générale, et que s'il avait connu sa réponse à Fermat, il n'aurait pas

(1) T. V, p. 390.

(2) T. X, p. 357.

(3) Journal des Savants, 1684, p. 251

(4) P. 270, an. 1690.

LE CARTESIANISME.

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er pour autoriser les observations avait faites dans le dessein de jusCette objection est aussi repros en 1685 (1), et par d'autres qui pas vu la réponse de Descartes, ubliée depuis 1667, et qui sont aussi ermat. Là même, Wallis gratifie e règle; mais plus loin (2) il la resitable auteur. « Je reconnais que e trouve pas dans Harriot; elle est tes (3). » Cependant, pour se décette justice, il ajoute : « Mais elle Quoiqu'elle ne soit générale que ■ l'équation ne renferme que des 5, elle sert souvent à découvrir aginaires. <«< Ainsi dans l'équation c-q=0, les signes indiquent une e et deux racines négatives. Sup2p, ou x― 2p=0, et multipliez la tion par x-2p=0, de cette maon résultante devra contenir une de plus que la première, et il vien ̄ p2 x2 — ( 6p2 + q)x+2pq = 0, équa

Algèbre, dans ses OEuvres complètes.

m agnosco in Harriotto non haberi. Cartesianum hoc

est. »

tion qui devrait avoir seulement deux racines positives et deux négatives; cependant, en considérant les variations des signes, on voit qu'elle a quatre racines positives. Ceci vient donc de deux racines imaginaires, qui, par leur ambiguïté, se montrent sous la forme de racines négatives dans la première équation, et sous celle de positives dans la dernière (1). » Que l'équation manque d'un terme et qu'on le remplace par±0; si l'on considère la succession des signes avec +0 et avec-0, et que le nombre des variations et celui des permanences aient changé, c'est une marque qu'il y a des racines imaginaires. Mais il peut arriver qu'il reste le même, et que les racines ne soient pas toutes réelles. Pareillement, lorsqu'on multiplie l'équation par un binome x-qà racine positive, comme dans l'exemple précédent de Newton, il peut se faire que les variations répondent au nombre supposé de racines positives, et qu'il s'y trouve des racines imaginaires. Dans les Éléments d'algèbre, on cite des cas inutiles à rappeler ici.

Telle qu'elle est néanmoins, cette règle a été, pendant deux siècles, ce qu'on a eu de mieux. Les plus grands analystes, à commencer par Newton et finir par Lagrange, n'ont pu, malgré tous leurs efforts, faire un pas décisif après Descartes. L'équation aux carrés des différences, simple en théorie,

(1) Arithm, univ. de Newton, t. II, p. 9, trad. de Beaudeux.

engage, quand on veut l'employer, dans des calculs fatigants et quelquefois presque interminables. Fourier atteint presque le but. En 1820, il publie (1) une règle, dont il était en possession depuis plusieurs années. S'il échoue, ses efforts aident M. Sturm à réussir dans un théorème qu'il donne en 1829. Ce théorème exige seulement une dérivée, qui s'obtient immédiatement, et une opération analogue à la recherche du plus grand commun diviseur, entre la dérivée et l'équation. Toutefois, l'esprit a je ne sais quel pressentiment qu'il existe quelque voie encore plus simple. Cette découverte, en montrant qu'il n'y a d'introuvable que ce qui est impossible, loin d'endormir, doit redoubler l'ardeur. L'emploi des dérivées remonte à Rolle, qui les appelle cascades (2).

Ce que Newton ajoute à Descartes pour résou, dre les équations, consiste principalement dans un moyen abrégé de déterminer les limites des racines, de discerner les diviseurs commensurables, et dans une méthode d'approximation qui porte son nom (3). Beaune, peut-être avant Descartes, aperçoit quelque trace des coefficients indéterminés; mais c'est Descartes qui, par l'u

(1) Bulletin des Sciences pour la societé philomatique de Paris, p. 156 et 181, an. 1820.

sage particulier qu'il en fait (1), y révèle un procédé merveilleux pour transformer les quantités.

Jusqu'ici nous avons supposé, comme on fait ordinairement, que Descartes emprunte à Viète et à Harriot leurs inventions, mais le contraire paraît certain. « J'ai commencé, écrit-il à Mersenne, ой Viète avait achevé, ce que j'ai fait toutefois sans y penser; car je l'ai plus feuilleté depuis votre dernière que je n'avais jamais fait auparavant, l'ayant trouvé ici par hasard entre les mains d'un de mes amis; et, entre nous, je ne trouve pas qu'il en ait tant su que je pensais, nonobstant qu'il fût fort habile (2)... Pour l'accusation du géostaticien, que je ne donne rien des équations que Viète n'ait donné plus doctement, nego majorem; car, comme je crois vous avoir déjà remarqué quelque autre fois, je commence en cela où Viète avait fini. Et, pour ce qu'il dit que je ne suis pas excusable de n'avoir pas vu Viète, il aurait raison si j'avais ignoré pour cela quelque chose qui fût dans Viète, ce que je ne crois pas qu'il m'enseigne par ce beau livret qu'il a autrefois fait imprimer (3)... Je n'ai aucune connaissance de ce géomètre dont vous m'écrivez, et je m'étonne de ce qu'il dit que nous avons étudié ensemble Viète à Paris; car c'est un livre

(1) OEuv., t. V, p. 364 et suiv.

(2) T. VI, p. 300.

(3) T. VII, p. 157.