par la largeur, et les solides, en multipliant l'une par l'autre la longueur, la largeur et la profondeur.

Pour calculer les surfaces irrégulières et les solides irréguliers on les réduit à des réguliers au moyen d'une estimation approximative de la hauteur et de la largeur.

Les lignes sont en proportion l'une de l'autre dans leur étendue respective, leur surface dans la proportion de leurs carrés et les solides comme les centres de leurs diamètres.

Qu'une surface ait six mètres de long et trois de largeur, elle contiendra 6 X 3 ou 18 mètres ; si elle a en même temps quatre mètres d'épaisseur, j'aurai 18 X 4 ou 72 mètres pour ses cubes. Ce simple procédé est la base de l'arpentage et du toisé, etc.

569. Les triangles contiennent six parties, savoir : trois angles et trois côtés; de la connaissance de trois de ces six parties on obtient celle de trois autres, soit par projection soit par calcul. Cet art s'appelle la trigonométrie, et sert à résoudre la plupart des problèmes dans l'astronomie, la géographie, la navigation et l'arpentage.

Les tables trigonométriques dressées pour le calcul des triangles sont fondées sur ce grand principe que : tous les triangles dont les angles sont égaux ont leurs côtés en proportions égales.

Dans chaque triangle, les trois angles réunis con.. tiennent 180 degrés, et comme l'angle droit est de 96. degrés, les deux autres sont égaux à 90 degrés. Tous les triangles peuvent être réduits à des triangles rectangles.

570. On a calculé des tables de proportions, de triangles, dont la base à l'hypothénuse est 1,000,000,000 parties pour chaque degré et minute au-dessous de 90 degrés.

Ainsi, si la base du triangle est de 67 pieds et l'angle de 36 degrés, nous pouvons en un moment déterminer a longueur de l'autre côté en faisant une règle de proportion.

Obs. Dans ces tables il faut entendre que l'hypothé nuse correspond à un rayon de 1,000,000,000, que la base correspond au cosinus, et la perpendiculaire au

sinus. Or quand la base est prise au rayon, alors la perpendiculaire est la tangente et l'hypoténuse la sẻ

cante.

Les éléments des tables trigonométriques peuvent être compris en un moment en faisant attention au diagramme ci-dessous.

D

D. A. est le diamètre. C. G. ou C. A. est le radius, B. F. est le sinus, C. F. le cosinus, A. E. est la tangente, C. E. la sécante, F. A. est le sinus opposé ; de D. à G. ou de G. à A. il y a 90 degrés. Chaque degré se divise en 60 minutes, la minute en 60 secondes, etc.

Les tables sont calculées pour toutes ces lignes de chaque degré ou minute du cadran depuis A à G.: comme les côtés de tous les triangles qui ont des angles égaux sont en exacte proportion, il est évident que nous n'avons qu'à adapter aux autres triangles les proportions déjà obtenues, et que les derniers peuvent être calculés d'après les premiers par une simple règle de proportion.

571. Il est essentiel de bien connaître les axiomes suivants.

Le diamètre d'un cercle est à sa circonférence comme à 3,14159.

La surface de chaque cercle est au carré de son diamètre comme 11 est à 14, ou comme 7854 à 1.

Le contenu solide de chaque sphère est au cube de son diamètre comme 5263 à 1.

Chaque pied carré contient 144 pouces carrés.
Chaque pied cube est de 1728 pouces solides.

572. L'arithmétique ou la science des nombres fait

partie des études mathématiques, elle s'occupe de tous les nombres soit entiers soit fractionnaires.

Le mètre est la millionième partie de la distance de l'équateur au pôle septentrional.

L'acre anglais répond à 56 ares.

Un pied cube d'eau pèse 100 onces. Un corps lourd tombe 193 pouces dans la première seconde et dans chacune des secondes suivantes 193 pouces multipliés par le carré de la somme des secondes.

Le diamètre équatorial de la terre est de 7936 milles.

Le diamètre équatorial de la terre est à l'axe polaire comme 179 à 178 ou l'une de 44 mille plus que l'autre. En prenant mille pour le poids de l'eau, le platine pèse 19,5000, l'or pèse 19258, le mercure 11352, le plomb 11352, l'argent 10474, le cuivre 8788, le fer 7207, le verre blanc 2892, la pierre de Portland 2570, la brique 2000, le sang 1053, le lait 1032, le beurre 942, le buis 1328, le chène 925, le hêtre 852, l'orme 700, l'écorce 240, l'air atmosphérique .00128, l'oxigène .000137, l'hydrogène .000096.

La pression de l'atmosphère est près de 15 livres par pouce carré, et celle de la poudre enflammée 14 50. La pression de l'air élève l'eau à 33 pieds, et le mercure de 28 à 31 pouces.

A 3 milles de la terre, la densité de l'air est réduite à la moitié et au quart à 7 milles.

Les ballons avec un vent modéré font 70 ou 80 milles par heure.

Une balle lancée par un canon parcourt 1,600 à 2.000 pieds.

Le son fait à peu près 32 vibrations par seconde et traverse 1130 pieds.

Neuf degrés du thermomètre de Fahrenheit en valent quatre du thermomètre de Réaumur, et cinq du thermomètre centigrade.

Obs. 1. Dans les fractions le chiffre supérieur s'appelle le numérateur, et l'inférieur dénominateur.

2. Toute fraction peut être exprimée par un nombre entier, en considérant le dénominateur comme 10, 100, 1000, etc. et, accordant proportionnellement le nu

mérateur, ainsi 314 seront 75 centièmes 122 = à 5 ďî xièmes, 118 à 125 millièmes, de là le système décimal.

=

3. Un carré est le produit d'un nombre multiplié par lui-même. Le carré de deux est 2×2 ou 4, le quarré de 4 est 4×4 ou 16. Le cube est le produit du nombre multiplié 3 fois. Le cube de 4 est 4X4X4 ou 64, la racine est le nombre originaire. ainsi 4 est la racine du carré 16 et du cube 64.

TRIGONOMETRIE.

576. La Trigonométrie est cette branche de mathématiques qui calcule les côtés du triangle; comme ces côtés font partie des cercles de la terre et du ciel, elle occupe un rôle important dans l'astronomie et la navigation; elle nous fait connaître la hauteur des édifices et des montagnes, et la distance des corps célestes.

Obs. La projection des triangles sphériques comme partie de la terre ou du ciel est une des plus belles branches de l'astronomie et de la géométrie pratique.

574. Les logarithmes sont des nombres en progression arithmétique qui, mis avec d'autres en progression géométrique, expriment leur proportion ou leur rapport comme dans deux rangées suivantes.

Logar. 0 1 2 3 4 5 6 prog. arith.
Nomb. 1 2 4 8 16 32 64 prog. géom.

Vous aurez.

Obs. Un des avantages les plus particuliers des logarithmes, c'est que l'addition et la soustration des nombres d'une série correspondent à ce même nombre multiplié ou divisé dans l'autre série. Ainsi en additionnant 2 et 4 dans la série des logarithmes 6 qui est le logarithme du nombre inférieur; 64 le produit de 4 fois 16. Le procédé contraire a lieu pour 'la division. En divisant un logarithme; vous extrayez la racine de son nombre, ainsi 6 le logarithme de 64 divi sé par 2 donne 3; le logarithme de 8 qui est la racine carrée de 64, ou 6 divisé par 3 donne 2; le logarithme dé 4 la racine cubique de 64, et ainsi des autres.

575. La perspective est cette partie des mathémat

ques qui nous enseigne à tracer les objets sur une surface plane de manière à frapper la vue comme si on les voyait à travers un plan transparent, ou un verre.

Dans la représentation des corps solides comme bâtiments, il y a trois divisions :

1. Iconographie qui traite des plans ou de la base des

bâtimens.

2. Ortographie qui offre le front ou les parties en vue directe.

3. Scénographie qui est la vue en perspective de toutes les parties de l'édifice. (Voyez article dessin.)

576. La Sciagraphie ou la Gnomonique est l'art de faire des cadrans sur tout plan horizontal, droit, incliné, ou droit et retombant ; les lignes horaires, la hauteur du gnome sur le plan, sa distance au méridien, et la différence de longitude, tout est calculé par la Trigonométrie Sphérique.

ALGEBRE,

OU DE L ARITHMÉTIQUE DES NOMBRES ABS STRAITS.

577. L'Algèbre est la partie abstraite de l'arithmétique dans laquelle au lieu de chiffres on prend à volonté des lettres ou des caractères et les résultats de leurs additions, soustractions, multiplications et divisions s'obtiennent plus rapidement sans passer par tous les calculs des nombres.

Obs. C'est une des études les plus essentielles et les plus variées; de grands savants se sont plu à consa crer toute leur carrière à cette étude importante. Aussitôt qu'un jeune homme connaît les règles des fractions il peut passer à l'algèbre et à la géométrie.

578. Les signes algébriques sont +plus, comme a++ veut dire a plus b, ou a additionné avec b. Ces deux lettres représentent souvent des nombres. - moins comme a-b. a moins b. X signe de la multiplication. Xb. a multiplié par b; a b sans signe exprime de même la multiplication. divise, comme a bou b divisé par b; ce dernier signe est le plus commun. signifie équation a=b; a est égal à b.

=