DE LA SOUSTRACTION. La soustraction consiste à trouver la différence qui existe entre deux nombres, et retranchant le plus petit du plus grand. Cette opération s'applique comme l'addition aux nombres entrers, aux décimaux, aux fractions décimales. Le seul soin à »bserver est de placer les quantités de même espèce, les unes yous les autres, comme il a été dit pour l'addition. Il s'agit de retrancher le nombre 428, de celui de 1640. ou de connaître la différence qui existe entre ces deux nombres. Les ayant placés ainsi qu'il a été prescrit, on dit, 8 de o ne se peut; mais nous rappelant que le chiffre 4 qui suit, exprime des dizaines d'unités, on emprunte à ce nombre 4 une unité. Cette unité vaut dix par rapport aux unités simples, à la colonne desquelles nous sommes. Nous disons donc alors, 8 de 10 reste 2 que nous mettons sous la colonne des unités; nous disons ensuite, 2 de 3. (nous rappelant l'emprunt fait au chiffre 4, qui ne le fait plus valoir que trois dizaines d'unités) : reste 1 que nous inscrivons sur la colonne des dizaines d'unités; continuant, nous disons, 4 de 6 reste 2, que nous mettons sur la colonne des centaines d'unités. Enfin, nous abaissons le chiffre qui exprime un millier d'unités, puisque nous n'avons rien à en retrancher. La différence entre les nombres 640 et 428, est donc de 1212 unités. La même manière d'opérer, s'applique aux nombres décimaux et aux fractions décimales; et cela se conçoit, puisque dans le cas où la soustraction de partie de la même espèce de 'unité ne pourraient se faire, on peut faire un emprunt au chiffre de gauche qui exprime des fractions d'unités, dix fois upérieures à celles dont on s'occupe. Nombres décimaux. Voyez l'exemple ci-dessus. EXEMPLE: Fractions décimates. Il pourrait arriver qu'on eût à soustraire le nombre :398; par exemple, d'un nombre tel que 2000. 99 3000 1398 602 différence. 2000 preuve. Dans ce cas, l'emprunt ne peut se faire pour retrancher 8 de o sur le chiffre suivant, qui est un zéro et le suivant qui est encore un zéro, alors on va jusqu'au chiffre qui permet un em prunt, nous allons jusqu'au 2. Mais une unité de ce chiffre 2 vaut 1000 unités, nous en prenons dix, et laissons les 990 autres sur les zéros placés aux dizaines et aux centaines, et nous marquons cet abandon, en plaçant 9 au-dessus de zéro des dizaines et 9 au-dessus de zéro des centaines, ce qui vous donne les 990 unités dont nous n'avons pas besoin pour le moment; car 9 centaines et-9 dizaines font 990 et les 10 unités conservées pour la colonne des unités, font les mille unités empruntées; cela fait, nous disons donc, 8 de 10, reste 2; 9 de 9 reste o ; 3 de 9, reste 6; 1 de 1 reste o Nous avons donc pour différence entre les deux nombres 2000 et 1398, bre 602. le nom Ces exemples et ces raisonnemens suffisent pour tous les cas qui peuvent se présenter. La preuve de la soustraction se fait en ajoutant la différence obtenue au plus petit nombre, pour obtenir le plus grand. DE LA MULTIPLICATION. La multiplication consiste à obtenir un produit qui contient autant de fois le nombre multiplié, qu'il y a d'unités dans le nombre par lequel on multiplie. Le nombre multiplié s'appelle multiplicande, celui par lequel on multiplie s'appelle multiplicateur, et le résultat obtenu, prend le nom de produit. 'La multiplication d'un nombre quelconque par un autre nombre, peut-être considérée comme une addition, où le premier nombre serait répété autant de fois qu'il y a d'unités dans le second nombre. (Celui par lequel on multiplie). Ainsi multiplier 3968 par 6, c'est comme si l'on ajoutait 3968, 6 fois à luimême. Faisant cette dernière opération, on a pour résultat ou produit 23,808. En effet : 3968 3968 3968 3968 3968 3968. 23808 (Nous verrons bientôt, que la multiplication donne le même produit). On conçoit parfaitement la longueur et la presqu'impossibilité d'une pareille opération, quand surtout le multiplicateur se trouve être un nombre composé de deux ou trois chiffres et même plus.. Il a donc fallu trouver un moyen d'opérer simple et toujours possible. Ainsi supposons avoir à multiplier le nombre 3968, par 346; on dipose les nombres comme il suit : 3968 multiplicande. 346 multiplicateur. 23808 15872 11904 1372928 produit Multiplier 3,968, par 346, c'est répéter 3,968 346 fois, ou répéter 3,968 6 fois, plus 4 dizaines de fois, ou 40 fois, plus 3 centaines de fois, ou 300 fois. Commençant donc par les unités, on dit: 6 fois 8 font 48, ou 4 dizaines, plus 8 unités. On pose les 8 unités et l'on retient les 4 dizaines d'unités, pour les porfer au produit des dizaines; on dit donc 6 fois 6, font 36, mais ce nombre 36, exprime des dizaines, parce que le produit est toujours de même nature que le multiplicande, et. qu'ainsi le multiplicande étant 6, ou les 6 dizaines du grand multiplicande, le produit 36 doit exprimer des dizaines; y ajoutant les quatre dizaines retenues, on a 40 dizaines ou 4 centaines. On pose o au produit pour les dizaines, puisqu'il n'y a pas de dizaines à marquer, et l'on retient 4, pour reporter au produit des centaines. On dit ensuite, 6 fois 9 font 54, mais ce nombre 54, exprime des centaines, y ajoutant les 4 centaines retenues, on a 58 centaines; on pose au produit le chiffre 8, exprimant des centaines; et l'on retient 5, qui exprime 5 dizaines de centaines d'unités, ou 5 milliers d'unités, les 5 milliers d'unités doivent être retenus pour être portés au produit, exprimant les milliers d'unités. On dit donc enfin, 6 fois 3 font 18, mais ce nombre 18, exprime des milliers d'unités, parce qu'il est le produit des 3 milliers d'unités du multiplicande, répétés 6 fois, ou multiplié par le nombre 6 des unités du multiplicateur; y ajoutant les 5 milliers retenus, on a 23. qu'on ecrit au produit, plaçant le 3 au rang des milliers d'unités, et le 2 qui exprime des dizaines de miHiers d'unités au rang des dizaines de milliers d'unités ; ainsi, la multiplication de 3,368 par 6, se trouve terminée. (Avant de continuer l'opération, nous ferons remarquer que 3,968, multiplié par 6, nous a donné 23,808, somme égale au total obtenu, en additionnant 6 fois 3,968; cela vient donc légitimer ce que nous avons dit plus haut ). Maintenant, il s'agit de multiplier 3,968 par 4, ou le répéter 4 dizaines de fois, puisque le chiffre 4 du multiplicateur exprime des dizaines. Mais il est évident, que multiplier 3,968 par 4, est la même chose que multiplier 4 par 3,968. Or. 4 exprime des dizaines, le produit devra donc exprimer des dizaines; multipliant alors 3,968 par 4, comme nous avons multiplié ce inėme nombre 3,968 par 6, nous obtiendrons pour produit 15.872, que nous plaçons au rang des dizaines d'unités, puisqu'il exprime des dizaines d'unités. (C'est-à dire, que nous plaçons le premier chiffre 2 du produit 15,872, sous le chiffre du premier produit exprimant des dizaines d'unités). Faisant le même raisonnement, quant à la multiplication de 3,968 par le dernier chiffre 3 de notre multiplicateur, lequel chiffre 3 exprime des centaines; cela nous conduit à multiplier simplement 3,968 par 3, et à placer le premier chiffre 4 du poids 11,904 sous le chiffre des produits primitivement obtenus, exprimant des centaines d'unités. Nous avons donc ainsi trois produits : 1. 23,808, produit de 3,968, par les 6 unités du multiplicateur; 2. › 58,072 ; produit de 3,968, par les 4 dizaines du mul tiplicateur; et 3. 11,904, produit de 3,968, par les trois centaines du multiplicateur, faisant donc l'addition de ces 3 produits, nous aurons un total qui sera évidemment le produit de 3,968, multiplié par 346; ce droit est de 1,372,928. La multiplication se réduit donc à multiplier le multipli cande, par chaque chiffre du multiplicateur, plaçant le premier chiffre de chaque produit ainsi obtenu, sous celui du multiplicateur qui l'a formé, et à faire l'addition de tous les produits partiels, pour avoir un total qui donne alors le produit cher ché. Si l'on avait à multiplier un nombre par un autre, qui serait l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros, au lieu de faire l'opé ration comme ci-dessus, on ajouterait à la suite du premie nombre les zéros du second. Ainsi, si on avait à multiplier 48. par 100, on écrirait de suite 42,800. La multiplication est évidente, car le chiffre 8 qui exprimait des unités, exprime maintenant des centaines; le chiffre 2, qui exprimait des dizai nes, exprime maintenant des milliers d'unités, et le chiffre 4. qui exprimait des centaines, exprime maintenant des dizaines de milliers d'unités. Chaque chiffre a donc une valeur centuple di celle qu'il avait. Il y a donc en multiplication de 428 par 100 1 Sion avait à multiplier un nombre, qui serait l'unité saivie ie un, ou de plusieurs zéros, par un nombre pareil, comme 100 à multiplier par 10, on aurait le produit, en mettant à la suite de l'unité, autant de zeros qu'il y en aurait dans le multiplicande et le multiplicateur. Ainsi, dans ce cas, on aurait 1,000; la multiplication est bien réelle, car l'unité qui exprimait une centaines, exprime maintenant un mille ou dix cenlaines. La multiplication des nombres entiers; est donc une opération simple et facile, que les raisonnements ci-dessus permettent d'appliquer à tous les cas. La multiplication des nombres décimaux et des fractions décimales se fait de même; seulement, il faut observer de laisser dans le produit et à droite de la virgule autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le multiplicande et le multiplicateur; on en conçoit facilement la raison. En effet, si on multipliait un nombre, qui a une ou deux décimales, en supprimant la virgule, ce serait multiplier un nombre dix fois ou cent fois trop grand, et le produit serait de même dix fois, ou cent fois trop grand. Il faut donc le rendre dix fois ou cent fois plus petit, en séparant autant de décimales qu'il y en avait au multiplicande. Si on multipliait un nombre par un autre, ayant une ou deux décimales, en supprimant la virgule de ce multiplicateur, on le rendrait 10 fois ou 100 fois supérieur à ce qu'il était. Le produit obtenu serait donc dix fois, ou cent fois trop fort; il faut donc, pour le réduire à sa valeur, le rendre dix fois ou cent fois plus petit, ce que l'on fait en séparant au produit, autant de décimales qu'il y en avait au multiplicateur. Pour multiplier 161,44 par 23, on opère comme si la virgule était supprimée, et qu'on eût à multiplier 162,44 par 23. Mais le nombre 16244, est cent fois supérieur à celui 162,44. car le chiffre 4, qui dans ce dernier nombre exprime des centièmes de l'unité, exprime dans le premier des unités. Le second chiffre 4, qui dans le dernier nombre, exprime des di xièmes de l'unité, exprime dans le premier des dizaines d'uni tés, il a donc acquis aussi une valeur centuple. Le chiffre 2 qui dans le dernier nombre exprime des unités, exprime dans le premier, des centaines d'unités, c'est-à-dire, cent fois plus |