est directe; si elle est indirecte, la grandeur cherchée occupe le second degré et les autres degrés intermédiaires, et la grandeur donnée le dernier. Car si l'on dit : comme l'unité est à a ou 5 donné, ainsi b ou 7 donné est à a b ou 35 cherché, alors a et b sont au second degré, et a b, qui en est le produit, est au į troisième. De même si l'on ajoute : comme l'unité est à c ou 9,' ainsi ab ou 35 est à a b c ou 513 cherché; alors a b c est au quatrième degré, et il est le produit de deux multiplications de ab et de c, qui sont au second degré, et ainsi du reste. De même comme l'unité est à a 5, ainsi a 5 est à a2 ou 25; et encore comme l'unité est à 5, ainsi a2 25 est à a3 125; et enfin, comme l'unité est à a 5, de même a2 125 est à aa ou 625, etc. En effet, la multiplication ne se fait pas autrement, soit qu'on multiplie une grandeur par elle-même, soit qu'on la multiplie par une autre entièrement différente. Et maintenant si l'on dit : comme l'unité est à a ou 5, diviseur donné, ainsi B our cherché est à a b ou 35, dividende donné, alors l'ordre est renversé; c'est pourquoi B cherché ne peut se trouver qu'en divisant ab donné par a donné aussi. De même si l'on dit : comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A ou 5 cherché est à A2 ou 25 donné; ou encore: comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A2 ou 25 cherché aussi est à a3 ou 125 donné, et ainsi du reste. Nous embrassons toutes ces opérations sous le nom de division, quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parce que l'on trouve plus souvent en elles la grandeur cherchée, qui par conséquent contient plus de rapports. Car le sens de ces exemples est le même que si l'on disoit qu'il faut extraire la racine carrée de a2 ou 25, ou le cube de a3 ou 125, et ainsi du reste. Cette formule, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des termes de la géométrie, à dire qu'il faut trouver la moyenne proportionnelle entre cette grandeur d'emprunt que nous appelons unité, et celle qui est désignée par a3 ou les deux moyennes proportionnelles entre l'unité et a3, et ainsi des autres. De là il est facile de comprendre comment ces deux opérations suffisent pour trouver toutes les grandeurs qui doivent être déduites d'autres grandeurs à l'aide d'un rapport quelconque. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l'examen de l'imagination, et comment il faut les représenter aux yeux mêmes, pour ensuite en expliquer l'usage et la pratique. Si nous avons à faire une division ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne ou d'une grandeur qui a de l'étendue, et dans laquelle il ne faut considérer que la longueur; car s'il faut ajouter la ligne a à la ligne b nous joignons l'une à l'autre de cette manière a b et nous obtenons pour produit C Si, au contraire, il faut extraire la plus petite de la plus grande, savoir b de a nous les appliquons l'une sur l'autre de cette manière ab et nous obtenons ainsi la partie de la plus grande qui ne peut être couverte par la plus petite, savoir с Dans la multiplication, nous concevons aussi sous la forme de jignes les grandeurs données; mais nous imaginons qu'elles forment un rectangle car si nous multiplions a par b, nous les adaptons l'une à l'autre à angles droits de cette manière b , et ab nous obtenons le rectangle D'une autre part, si nous voulons multiplier ab par c, il faut concevoir ab sous la forme d'une ligne de cette manière ab et nous obtenons : C ab pour abc. Enfin, dans la division où le diviseur est donné, nous nous représentons la grandeur à diviser sous la forme d'un rectangle dont un côté est diviseur et un autre quotient. , Ainsi, par exemple, si l'on a le rectangle à diviser par a on en ôte la largeur ___a et il reste __b___ pour quotient; ou, au contraire, si on divise le même rectangle par b, on ôtera la longueur 1 b et le quotient sera a Quant aux divisions où le diviseur n'est pas donné, mais seulement désigné par un rapport quelconque, comme, par exemple, lorsqu'on dit qu'il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., notons qu'il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont la première est l'unité et la dernière la grandeur à diviser. Il sera dit en son lieu comment il faut trouver toutes les moyennes proportionnelles entre le dividende et l'unité. Il suffit d'avoir averti que nous supposons que de telles opérations ne sont pas encore achevées ici, puisqu'elles doivent l'être par une action indirecte et réfléchie de l'imagination, et que nous ne traitons maintenant que des questions à parcourir directement. En ce qui concerne les autres opérations, elles peuvent être faites très-facilement de la manière dont nous avons dit qu'il faut les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés; car, bien que nous soyons libres, quand une difficulté se présente pour la première fois, d'en concevoir les termes comme des lignes ou comme des rectangles, sans jamais leur attribuer d'autres figures, ainsi qu'il a été dit à la règle quatorzième, toutefois il arrive souvent, dans le cours de l'opération, qu'un rectangle, après avoir été produit par la multiplication de deux lignes, doit être bientôt conçu comme une ligne pour servir à une autre opération; ou encore que le 1. Texte latitudo; il est évident qu'il faut lire longitudo. même rectangle, ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être bientôt conçue comme un autre rectangle désigné au-dessus de la ligne qui doit le diviser. Il est donc important d'exposer ici comment tout rectangle peut être transformé en une ligne, et réciproquement toute ligne ou même tout rectangle en un autre rectangle dont le côté soit désigné. Cela est très-facile aux géomètres, pourvu qu'ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous en composons avec quelque rectangle, comme ici, nous entendons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. De la sorte, en effet, tout se réduit à cette proposition : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné. Quoique cette opération soit familière, même à ceux qui commencent l'étude de la géométrie je veux néanmoins l'exposer,) de peur de paroître avoir omis quelque chose. (Le reste manque. RÈGLE XIX C'est par cette méthode qu'il faut chercher antant de grandeurs exprimées de deux manières différentes que nous supposons connus de termes inconnus pour parcourir directement la difficulté. De la sorte, en effet, nous obtiendrons autant de comparaisons entre deux choses égales. RÈGLE XX Les équations trouvées, nous devons achever les opérations que nous avons laissées de côté, sans jamais nous servir de la multiplication, toutes les fois qu'il y aura lieu à division. RÈGLE XXI S'il y a plusieurs opérations de cette espèce, on doit les réduire toutes à une seule, c'est-à-dire à celle dont les termes occuperont le plus petit nombre de degrés dans la série des grandeurs en proportion continue, selon laquelle ces termes doivent être ordonnés. RECHERCHE DE LA VÉRITÉ PAR LA LUMIERE NATURELLE QUI, A ELLe seule ET SANS LE SECOURS DE LA RELIGION OU DE LA PHILOSOPHIE UN HONNÊTE HOMME SUR TOUTES LES CHOSES QUI PEUVENT FAIRE L'OBJET DE SES PENSÉES, ET PÉNÈTRE DANS LES SECRETS AVANT PROPOS Il n'est pas nécessaire que l'honnête homme ait lu tous les livres ni qu'il ait appris avec soin tout ce que l'on enseigne dans les écoles; bien plus, ce serait un vice de son éducation s'il avoit consacré trop de temps aux lettres. Il a bien d'autres choses à faire dans la vie, et il doit la diriger de manière que la plus grande partie lui en reste pour l'employer à de belles actions que sa propre raison devroit lui enseigner, s'il ne recevoit des leçons que d'elle seule. Mais il vient ignorant au monde, et comme les connoissances de son premier âge n'ont d'autre appui que la foiblesse des sens ou l'autorité des maîtres, il est presque impossible que son imagination ne soit remplie d'une infinité de pensées fausses avant que la raison puisse prendre |