"

en C par une droite Ċ O, qui ne passe point par leur Centre de gravité, on propose de déterminer de quel côté sera la prépondérance, et quelle en sera la quantité. On multipliera pour cela les poids c et d par leurs distances CE et CB, du point de suspension, et la somme sera le moment de leur poids ou leur moment vers la gauche: on multipliera ensuite leur poids a et b par leurs distances A Cet CD, et la somme sera le moment vers la droite; on soustraira l'un de ces momens de l'autre, et le reste donnera la prépondérance chercliée.

50. Un nombre quelconque de poids a, b, c, d, étant suspendus en C par une ligne C O, qui ne passe point par leur Centre commun de gravité, et la prépondérance etant vers la droite, déterminer un point F, où la somme de tous les poids étant suspendue, la prépondérance continueroit à être la même que dans la première situation.

Trouvez le moment des poids c ét d, c'est-à-dire, CXCE et dXGB; et puisque le moment des poids suspendus en F doit être précisément le même, le moment trouvé des poids c et d sera donc le produit de CF par la somme des poids, et ainsi ce moment étant divisé par la somme des poids, le quotient donnera la distance C F, à laquelle la somme des poids doit être suspendue, pour que la prépondérance continue à être la même qu'auparavant.

6°. Trouver le Centre de gravité d'un parallelogramme et d'un parallelipipède.

Tirez les diagonales AD et E G (fig. 16), ainsi que CB et HF; et puisque chacunes, des diagonales AD et CB divise le parallelogramme ACDB en deux parties égales et semblables, chacune d'elles passe donc par le centre de grávité donc le point d'intersection I est le Centre de gravité du parallélogramme.

De même puisque les plans CBFH et AD GE divisent le parallelipipède en deux parties égales et semblables, ils passent l'un et l'autre par son Centre de gravité, et ainsi leur intersection IK est le diamètre de gravité, et le milieu en est le Centre.

On pourra trouver de la même manière le Centre de gravité dans les prismes et les cylindres, en prenant le milieu de la droite qui joint leurs bases opposées. Tome II.

Pos

Dans les polygones réguliers, le Centre de gravité est le même que celui du cercle circonscrit ou inscrit à ces polygones.

7. Trouver le Centre de gravité d'un cône et d'une pyramide. Le Centre de gravité d'un cône est dans son axe AC (fig. 17); si l'on fait donc AC= a; CD =rip la circonférence dont le rayon est r; AP=x; dx; le poids de l'élément du cône sera

Pp

prx dx

2 2 a

; et par conséquent l'inté

grale des momens *, laquelle divisée par l'inté

prx
8 a 2

grale des poids Pr donne la distance du Centre de

prx
6a2

gravité de la portion AMN au sommet A,:

3

30

4

6a2 prxt

8a2

prx3

== AP; d'où il s'ensuit que le Centre de gravité du cône entier est éloigné du sommet des de AC; et on trouve de la même manière la distance du Centre de gravité de la pyramide au sommet de cette pyramide AC.

=

8°. Déterminer le Centre de gravité d'un triangle BAC (fig. 18). Tirez la droite AD au point milieu D de BC, et puisque le triangle BAD est égal à la moitié du triangle BAC, on pourra donc diviser chacun de ces triangles en un même nombre de petits poids, appliqués de la même manière à l'axe commun AD, façon que le Centre de gravité du triangle BAC sera situé dans AD. Pour déterminer le poids précis, soit AD=a; BC=b; A P= x; MN= y; et on aura A P : M N :: AD : BC donnera y =

par l'aire A MN du triangle, c'est-à-dire, par donne la distance du Centre de gravité au sommet

bx?

2a

2 abx 3

a2 x2

3 a

= x; et ainsi substituant a pour x, la distance du Centre total de gravité au sommet sera=a.

90. Trouver le Centre de gravité de la portion de parabole SAH (fig. 19): sa distance du sommet A se trouve être A E par les méthodes précédenies.

10°. Le Centre de gravité d'un arc de cercle, est éloigné du Centre de cet arc, d'une droite qui est quatrième proportionnelle à cet arc, à sa corde, et au rayon. La distance du Centre de gravité d'un secteur de cercle au Centre de ce cercle, est à la distance du Centre de gravité de l'arc au même Centre, comme 2 est à 3.

Pour trouver les Centres de gravité des segmens des conoides, des paraboloides, des sphéroides, des cônes tronqués, etc. comme ce sont des cas plus difhciles, et qui en même tems ne se présentent que plus rarement, nous renvoyons là-dessus au Traité de Wolf, d'où l'on a tiré une partie de cet article.

11o. Déterminer mécaniquement le Centre de gravité d'un corps; placez le corps donné HI (fig. 20 ) sur une corde tendue ou sur le bord d'un prisme triangu laire FG et avancez-le plus ou moins, jusqu'à ce que les parties des deux côtés soient en équilibre : le plan vertical passant par KL, passera par le Centre de gravité; changez la situation du corps et avancez-le encore plus ou moins sur la corde ou sur le bord du prisme, jusqu'à ce qu'il reste en équilibre sur quelque ligne MN; et l'intersection des deux lignes MN et K L déterminera sur la base du corps le point O correspondant aù Centre de gravité.

On peut faire la même chose en placant le corps sur une table horizontale, et le faisant déborder hors de la table le plus qu'il sera possible sans qu'il tombe, et cela dans deux positions différentes, en longueur et en largeur: la commune intersection des lignes, qui, dans les deux situations, correspondront au bord de la table, déterminera le Centre de gravité; on peut aussi en venir à bout, en plaçant le corps sur la pointe d'un style, jusqu'à ce qu'il reste en équilibre.

Lorsque plusieurs corps se meuvent uniformément en ligne droite, soit dans un même plan, soit dans des plans différens, leur Centre de gravité commun se meut toujours uniformément en ligne droite, ou demeure

en repos; et cet état de mouvement ou de repos du Centre de gravité, n'est point changé par l'action mutuelle que ces corps exercent les uns sur les autres. On peut voir la démonstration de cette proposition dans le Traité de Dynamique, à Paris, 1743, Part. II, chap. ij. L'Auteur de cet ouvrage paroît être le premier qui ait donné cette démonstration d'une manière générale et rigoureuse. Jusqu'alors on ne connoissoit cette vérité que par une espèce d'induction; c'est principalement dans le cas où les corps agissent les uns sur les autres, et décrivent des courbes, que la proposition est difficile à démontrer : car, quand ils se meuvent uniformément en ligne droite dans un même plan, ce cas a été démontré par Newton, dans le premier Livre de ses Principes; et, quand ils se meuvent uniformément en ligne droite dans des plans différens, ce cas a été démontré par les PP. le Seur et Jacquier dans leur Commentaire sur les Principes de Newton. Au reste, la démonstration donnée dans le Traité de Dynamique, déjà cité, est générale pour tous ces cas, ou peut très-facilement y être appliquée.

CENTRE DE MOUVEMENT. C'est le point autour duquel un ou plusieurs corps se meuvent; par exemple, dans un pendule, le point de suspension autour duquel il décrit ses arcs, est le Centre de mouvement de ce pendule; de même si les poids P et q (Pl. LXXV, fig. 21) tournent autour du point N, de façon que quand P descend en p, q monte en Q, N sera dit alors le Centre de mouvement. (Voyez MouVEMENT).

CENTRE D'OSCILLATION. C'est un point, qui, étant pris dans la ligne de suspension d'un pendule composé, soit tel que, si toute la gravité du pendule, supposé oscillant, s'y trouvoit ramassée, les oscillations se feroient dans un temps égal à celui qu'emploie ce pendule composé à faire les siennes. Dans un tel pendule, ce point se trouve, dans tous les cas, au-dessous du centre de gravité. Les oscillations de ce pendule sont toujours égales en durée à celles d'un pendule simple, qui auroit pour longueur la distance de ce Centre d'oscillation au point de suspension. (Voyez PENDULE ).

Huyghens est le premier qui ait donné la règle géné

rale pour trouver le Centre d'oscillation d'un pendule composé. (De Horologio oscillatorio, pag. 93. )

Loix du Centre d'oscillation. Si plusieurs poids B, H, F, D (Pl. LXXV, fig. 22 ) dont la gravité est supposée ramassée aux points D, F, H, B, conservent constamment la même distance entr'eux et la même distance du point de suspension A, et que le pendule ainsi composé fasse ses oscillations autour du point A, la distance OA du Centre d'oscillation O au point de suspension se trouvera en multipliant les différens poids par les quarrés des distances, et divisant la somme par la somme des momens des poids.

x' dx

Pour déterminer le Centre d'oscillation dans une droite A B (fig. 23), soit A Ba, AD = x; la particule infiniment petite D P sera égale dx, et le moment de son poids x dx ; par conséquent la distance du Centre d'oscillation dans la partie AD au point de suspension A = =x qu'on substitue maintenant a au lieu de x, et la distance du Centre d'oscillation dans la droite totale AB sera = a; c'est ainsi qu'on trouve le Centre d'oscillation d'un fil de métal qui oscille sur l'une de ses extrémités.

sera =

xd x

.

Pour le Centre d'oscillation, dans un triangle équilatéral CAB (fig. 18), qui oscille autour d'un axe parallèle à sa base CB, sa distance du sommet A se trouve égale à AD, hauteur du triangle.

Pour celui d'un triangle équilatéral CAB oscillant autour de sa base C B, sa distance du sommet A se trouve =AD, hauteur du triangle.

Dans les Mémoires de l'Académie, 1735, de Mairan remarque que plusieurs Auteurs se sont mépris dans les formules des Centres d'oscillation, entr'autres Carré dans son livre sur le Calcul intégral. Voyez OSCILLATION).

Je joins ici la recherche de ce Centre d'oscillation mise dans tout son jour par feu Bernoulli, professeur à Bâle, et de l'Académie des Sciences de Paris, dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie, pour l'année 1703, pag. 78. Voici ce qu'en dit l'historien