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note, dans laquelle M. Delaunay a exposé lui-même les principes de la méthode analytique qu'il a entrepris d'appliquer à la théorie de la lune, méthode toute différente de celle de M. Hansen, et qui a pour but d'épuiser successivement toutes les inégalités, suivant leur ordre d'importance, comme par une sorte d'exhaustion progressive. M. Delaunay en suit l'application depuis onze années avec une infatigable persévérance, et l'on n'apprendra pas sans plaisir que cet immense travail approche de sa fin.

J. B. BIOT.

Première note de M. Delaunay relative au travail de M. Hansen sur la théorie

de la lune.

La méthode que M. Hansen a suivie pour calculer les inégalités du mouvement de la lunc dues à l'action perturbatrice du soleil est exposée dans l'ouvrage intitulé: Fundamenta nova investigationis orbite veræ quam luna perlustrat; Gothæ, 1838.

Il prend pour inconnues principales :

1o La quantité qui, dans le mouvement elliptique, est l'anomalie moyenne (nz); 2° La partie du logarithme naturel du rayon vecteur qui doit être ajoutée au logarithme naturel de sa valeur elliptique (contenant l'anomalie moyenne troublée), pour former la valeur complète de ce logarithme (w);

3o La partie du sinus de la latitude qui doit être ajoutée à la valeur de ce sinus correspondant à une inclinaison constante de l'orbite lunaire sur l'écliptique vraie et à la longitude vraie troublée, pour former la valeur complète du même sinus (s). Ce sont ces trois inconnues nz, w, s, que M. Hansen a déterminées par sa théorie, et dont il donne les valeurs au commencement du préambule de ses tables. Il donne en outre, dans le même préambule, les inégalités (R') de la réduction à l'écliptique, pour servir au calcul de la longitude comptée sur le plan de l'écliptique, déduite de la longitude comptée dans le plan de l'orbite.

Les formules qui servent au calcul des inégalités des inconnues précédentes sont établies de manière à laisser constante l'excentricité e de la lune. Cette valeur constante de e n'est autre chose que celle qui se déduit du premier terme de l'équation du centre, en déterminant la valeur de ce terme d'après les observations, comme si le mouvement de la lune était purement elliptique (page 79 des Fundamenta nova). Il en est de même de l'inclinaison I du plan de l'orbite lunaire sur l'écliptique, qui est aussi laissée constante, et à laquelle on doit attribuer la valeur moyenne fournie par les observations (page 96 du même ouvrage).

Pour éviter que les approximations successives ne fournissent des termes renferinant le temps i en facteur, en dehors des signes sinus et cosinus, M. Hansen emploie la considération d'un périgée et d'un nœud mobiles; à cet effet, il ajoute, aux quantités qui représentent les longitudes de ces deux points, des termes variant proportionnellement au temps. Les valeurs des moyens mouvements du périgée et du

nud, ainsi que celle du moyen mouvement de la longitude, sont empruntées à l'observation.

Après avoir établi les formules qui doivent être employées à la détermination des valeurs des inconnues dont il a été question précédemment, formules qui contiennent les dérivées partielles de la fonction perturbatrice 2 par rapport à diverses quantités, M. Hansen effectue le développement de 2 en série (pages 159 et suivantes des Fundamenta nova). Ce développement est poussé en général jusqu'aux termes du huitième ordre (pages 162 et suivantes, 174 et suivantes). Il montre ensuite (page 180) comment on peut en déduire les dérivées partielles de dont on a besoin.

Pour calculer les valeurs des inconnues nz, w, s, M. Hansen suit la marche ordinaire : il détermine d'abord les inégalités qui sont du premier ordre par rapport à la force perturbatrice, puis celles qui sont du second ordre, etc. Il ne va pas au delà du quatrième ordre.

Les seconds membres des équations différentielles à intégrer sont développées en séries (leurs développements se déduisent de celui de la fonction perturbatrice). Les coefficients des sinus et cosinus dans ces développements contiennent des fonctions des excentricités du soleil et de la lune, et de l'inclinaison de l'orbite lunaire sur l'écliptique, fonctions dont on peut calculer les valeurs numériques, puisque les éléments dont elles dépendent sont employés comme constants. Ces développements contiennent également les inconnues elles-mêmes qu'il s'agit de déterminer. Dans une première approximation, on doit regarder les inconnues nz, w, s, comme ayant les valeurs qui leur conviennent dans le mouvement elliptique, c'est-à-dire

nz ntc, w = o, s = 0.

On peut alors intégrer numériquement, ce qui fournit les valeurs de nz, w, s, contenant les inégalités du premier ordre par rapport à la force perturbatrice.

Dans une seconde approximation, on regarde ces quantités nz, w, s, comme ayant les valeurs qui viennent d'être trouvées. Alors les seconds membres des équations à intégrer, après qu'on y a substitué ces valeurs de nz, w, s, ont besoin d'être développés de nouveau en séries de sinus et de cosinus d'arcs variant proportionnellement au temps. M. Hansen effectue ces nouveaux développements en calculant numériquement les coefficients des différents termes, et n'omettant que ceux qui sont trop petits pour être sensibles. Les développements étant faits, l'intégration donne de nouvelles valeurs de nz, w, S.

La troisième et la quatrième approximation se font de même que la seconde.

Deuxième note de M. Delaunay sur la méthode qu'il a suivie pour calculer les inégalités lunaires dues à l'action perturbatrice du soleil.

Sans l'action perturbatrice du soleil, le mouvement de la lune autour de la terre ne serait autre chose que le mouvement elliptique ordinaire; et les trois coordonnées de la lune (longitude, latitude, parallaxe) s'exprimeraient facilement en fonction du temps et de six constantes. Pour tenir compte de l'action perturbatrice du soleil, on conserve les mêmes expressions pour ces trois coordonnées; mais on

y regarde les six constantes comme étant des variables dont il s'agit de déterminer les valeurs en fonction du temps. Les dérivées de ces variables par rapport au temps s'obtiennent au moyen des dérivées partielles d'une certaine fonction par rapport aux variables elles-mêmes: cette fonction est ce qu'on nomme la fonction. perturbatrice.

Par suite de certaines modifications auxquelles M. Delaunay est conduit: pour éviter que le temps t sorte des signes sin. et cos. dans le calcul des perturbations, il adopte définitivement pour les six variables dont les valeurs dépendent de la fonction perturbatrice: 1° l'anomalie moyenne de la lune; 2° fa distance y du nœud de la lune à son périgée; 3° la longitude h du nœud; 4° enfin les quantités, L, G, H, qui sont liées au demi-grand axe a, à l'excentricité e et à l'inclinaison i par les relations suivantes :

L=Vaμ, G=√ ap (1—e2), H = √ aμ (1—e2) cos i.

La lettre a désigne la somme des masses de la terre et de la lune.

μ

Les équations différentielles qui déterminent les valeurs de ces six variables

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La fonction R est d'abord développée en série de cosinus d'angles dont chacun est la somme algébrique de divers multiples des angles 1, g, h, et des angles analogues correspondant au soleil. Les coefficients des cosinus ne dépendent que des variables L, G, H.

L'intégration des six équations différentielles précédentes présente de grandes difficultés, à cause de la grandeur de l'action perturbatrice du soleil. Tandis que, dans la théorie des planètes, on n'a guère besoin d'aller au delà du 2° ordre par rapport à la force perturbatrice; il faut ici aller jusqu'au 5, et même jusqu'au 6 ordre. C'est pour cela que M. Delaunay a imaginé une méthode pour attaquer la difficulté par parties successives. Sa méthode consiste à effectuer une série d'opérations, toutes de même nature, dont chacune a pour objet d'enlever quelque chose à la fonction perturbatrice, et d'introduire en même temps dans les expressions des coordonnées de la lune certains termes dus à cette partie de la fonction perturbatrice qui lui a été enlevée.

Dans chacune de ces opérations, M. Delaunay établit des formules de transfor mation entre les six variables 1, g, h, L, G, H, et six autres variables de même nature l', g', h', L', G', H'. A l'aide de ces formules, qui sont analogues aux formules de transformation de coordonnées qu'on emploie en géométrie, les variables l', g', h', L', G', H' peuvent être substituées aux variables primitives 1, g, h, L, G, H. La substitution étant faite dans la fonction perturbatrice et dans les expressions des coordonnées de la lune, il en résulte que, 1o un des termes importants de la fonction perturbatrice disparaît; 2°, diverses inégalités correspondant à ce terme

s'introduisent dans les valeurs des trois coordonnées de la lune. Enfin les valeurs des six nouvelles variables en fonction du temps sont déterminées par des équations différentielles exactement de même forme que celles qui déterminaient les valeurs des six variables auxquelles elles ont été substituées.

Des opérations de ce genre étant effectuées successivement et en nombre convenable, la fonction perturbatrice se trouve débarrassée de ses termes les plus importants; et dès lors la question peut être rendue assez simple pour pouvoir être traitée de la même manière que s'il s'agissait des perturbations d'une planète.

M. Delaunay a déjà effectué 51 des opérations dont il vient d'être question. Lorsqu'il en aura fait encore 5, la fonction perturbatrice sera tellement modifiée, qu'il ne sera même pas nécessaire d'aller jusqu'au 2° ordre par rapport à la force perturbatrice à laquelle cette fonction correspondra.

M. Delaunay calcule toutes les inégalités de la longitude et de la latitude jusqu'au 7 ordre inclusivement. (Les excentricités de la lune et du soleil, l'inclinaison de l'orbite de la lune, et le rapport des moyens mouvements du soleil et de la lune sont des quantités de 1" ordre.) — M. Plana, dans son grand travail sur la théorie de la lune, a déjà déterminé les inégalités lunaires sous leur forme purement analytique; mais il n'a calculé ces inégalités que jusqu'au 5o ordre inclusivement.

1o Glossaire du centre de la FRANCE, par M. le comte Jaubert. Paris, Chaix, rue Bergère, no 20, 2 vol. in-8°.

2° DICTIONNAIRE ETYMOLOGIQUE DE LA LANGUE WALLONE, par Ch. Grandgagnage. Liége, Félix Oudart, 2 vol. in-8°.

QUATRIÈME ET DERNIER ARTICLE 1.

Comparaison.

Près de me séparer de mes deux excellents guides, M. le comte Jaubert et M. Grandgagnage, je veux auparavant chercher quelques points où je puisse comparer le patois wallon et celui du Berry. Quelques points sans plus: car cela seul convient à des articles qui ne prétendent qu'à faire connaître; autre chose appartiendrait à des mémoires qui essayeraient d'enseigner. La comparaison est, par prérogative, l'instrument logique de toutes les études qui ont pour objet, non-seulement les êtres vivants, mais aussi leurs actes. C'est elle qui y guide la re

1

le

Voyez, pour le premier article, le cahier de septembre 1857, p. 537, pour deuxième, celui de novembre, page 676; et, pour le troisième, celui de décembre, page 750.

cherche; c'est elle qui y généralise les idées; c'est elle, en un mot, qui y constitue le système. Sans elle, on tenterait vainement de pénétrer dans ces phénomènes si complexes, autrement que par des hypothèses stériles et par un emploi de conceptions inférieures, et, partant, impuissantes. La comparaison a prouvé toute sa vertu, à cet égard, dans l'anatomie, dont elle est le soutien, dans la linguistique, où elle a, à la fois, écarté des barrières apparentes et repoussé des confusions arbitraires. Aussi, même sur l'étroit terrain de deux patois congénères, on peut s'arrêter un moment pour considérer les choses suivant une manière qui, en satisfaisant l'esprit, l'étend et l'assure.

Prendre un mot du Berry, et examiner le même mot dans le pays wallon, c'est voir comment une plante, soumise à divers degrés d'altitude ou de chaleur, se comporte et oscille autour de son type déterminé. Ces oscillations autour du type sont grandes : creûre et creire (croire), awèie et aqueille (aiguille), chène et chanbe (chanvre), coise et coûte (côte), kinoie et quouneille (quenouille), hâle et echalle (échelle), hoûter et acouter (écouter), mâgriî et maugréger (maugréer), etc. sont des formes, les premières wallones, les secondes du Berry, qui ont de notables différences. Hippocrate, dans un de ses livres, qui est resté le point de départ de toute spéculation touchant l'influence des climats sur les peuples, a esquissé les linéaments de cette influence, l'exagérant même, puisqu'il alla, orgueilleux d'être un Hellène, jusqu'à faire dépendre du climat la supériorité politique des Grecs sur les Asiatiques; il attribuait ici à une seule cause ce qui dépend d'un ensemble de causes fort complexes; car, après lui, la Grèce, malgré son climat toujours le même, tomba dans une condition très-semblable à celle qui excitait le dédain de ses hommes libres. Aux conditions qui sont modifiées dans une limite plus ou moins étendue par le climat, il faut ajouter, je l'ai fait voir, les langues. Quand on considère, en soi, le latin ou le grec, l'allemand ou le slave, on n'est aucunement autorisé à dire que le climat soit pour quelque chose dans la forme que ces différents idiomes ont revêtue. Mais autre est le résultat de la recherche, si l'on étudie le phénomène de formation des langues novo-latines, si négligé jusqu'à présent, et pourtant si digne d'attention, à cause de la proximité du temps où il s'est accompli, et des lumières historiques qui y convergent de toute part. Là, plus d'incertitude. C'est, pour ainsi dire, une expérience faite à plaisir, et telle qu'on pourrait la souhaiter dans un laboratoire. Le mot latin, toujours identique, a été transporté simultanément en Italie, en Espagne, en Gaule; et partout il a subi unc modification spéciale. Non-seulement, les grandes divisions terri

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