milieu MN est à la vitesse par le milieu NH, ainsi la ligne droite MN est à NI; le temps par le milieu MN au temps par le milieu NH sera comme IN à NH.

De même l'on démontrera que si l'on fait que comme la vitesse par le milieu plus rare est à la vitesse par le milieu plus dense, ainsi la ligne MR est à RP, le temps du mouvement par le milieu MR sera au temps du mouvement par le milieu RH comme la ligne PR est à la ligne RH.

D'où il suit que le temps du mouvement par les deux lignes MN, NH, est au temps du mouvement par les deux autres MR, RH, comme l'agrégé des deux lignes IN, NH, est à l'agrégé des deux autres PR, RH.

Quand donc la nature dirige un rayon de lumière du point M vers le point H, il faut chercher un point quel qu'il soit, comme N, par lequel la lumière puisse parvenir par inflexion ou réfraction du point M au point H en moins de temps. Car il est très probable que la nature, qui avance toujours le plus qu'elle peut ses opérations, tendra d'elle-même vers ce point-là. Si donc l'aggrégé ou la somme des deux lignes droites IN, NH, qui est la mesure du temps du mouvement par la ligne rompue MNH, se trouve être la moindre quantité, on aura ce que l'on cherche.

Or cela suit du théorème proposé par M. Des

cartes, comme je vais vous faire voir par ma bonne géométrie.

Car M. Descartes dit que si du point M on mene le rayon MN, et que du même point M on abaisse la perpendiculaire MD, et si avec cela l'on fait que comme la plus grande vitesse est à la moindre, ainsi la ligne DN est à NS, et que du point S soit élevée la perpendiculaire SH, et mené le rayon NH, pour lors le rayon de lumière, qui vient du milieu rare M au point N, se rompt à la rencontre du milieu dense, et va au point H, en approchant de la perpendiculaire.

Or notre géométrie ne répugne en façon quelconque à ce théorème, comme l'on verra par la proposition suivante, qui est purement géométrique.

Soit le cercle AHBM dont le diamètre soit ANB, le centre N, dans la circonférence duquel ayant pris un point à discrétion comme M, soit mené le rayon MN, et soit abaissée sur le diamètre la perpendiculaire MD; que l'on sache outre cela la proportion qui est entre le plus ou moins de facilité que les différents milieux donnent au passage de la lumière, et qu'ainsi l'on fasse DN à NS. Que DN soit plus grande que NS, et que du point S soit élevée la perpendiculaire SH qui rencontre la circonférence du cercle au point H, duquel soit mené au centre le rayon HN; puis soit fait comme DN est à NS, ainsi le rayon MN soit à la ligne droiet

NI. Je dis que la somme des deux lignes droites IN, NH, qui est la mesure du temps par les deux lignes MN, NH, comme il a été prouvé ci-dessus, est la moindre de toutes; c'est-à-dire que si, par exemple, l'on prend un point tel que l'on voudra, comme R, du côté du semi-diamètre NB, et si l'on joint les deux lignes droites MR, RH, et que l'on fasse que comme DN est à NS, ainsi MR soit à RP, pour lors la somme des deux droites PR et RH, qui est aussi la mesure du temps par les deux lignes MR, RH, comme il a été aussi prouvé cidessus, sera plus grande que la somme des deux autres droites IN et NH.

Or, pour le prouver, soit fait comme le rayon MN est à DN, qu'ainsi RN soit à NO; et comme DN est à NS, qu'ainsi NO soit à NV. Il paroît par la construction que la ligne NO est plus petite que la ligne NR, d'autant que la ligne DN est plus petite que le rayon MN; il est évident aussi que la ligne NV est plus petite que la ligne NO, la ligne NO, puisque

la ligne NS est moindre que la ligne ND.

Cela étant posé, le carré de la ligne MR est égal au carré du rayon MN, plus au carré de la ligne NR, et à deux fois le rectangle sous DN et NR par la 12 du 2. Mais puisque par la construction, comme MN est à DN, ainsi NR est à NO, il s'ensuit que le rectangle fait de MN, NO, est égal au rectangle de DN, NR, par la 16 du 6. Et

partant le rectangle de MN, NO, pris deux fois, est égal à deux fois le rectangle de DN, NR.

Par conséquent le carré de la ligne MR est égal aux deux carrés MN et NR, et a deux fois le rectangle sous MN, NO. Or, le carré de la ligne NR est plus grand que le carré de la ligne NO, puisque NR est plus grand que NO. Partant le carré de la ligne MR est plus grand que les deux carrés MN, NO avec deux fois le rectangle sous MN, NO. Or est-il que ces deux carrés MN, NO avec deux fois le rectangle sous MN, NO, sont égaux au carré qui est fait des deux lignes MN, NO comme d'une seule ligne droite, par la 4 du 2. Donc la ligne droite MR est plus grande que la somme des deux lignes droites MN et NO.

Mais puisque par la construction comme DN est à NS, ainsi MN est à NI, et ainsi aussi NO est à NV, partant comme DN est à NS, ainsi sera la somme des deux lignes MN, NO, à la somme des deux lignes IN, NV, par la 12 du 5. Or, comme DN est à NS, de même aussi MR est à RP; par conséquent comme la somme des deux lignes MN, NO est à la somme des deux lignes IN, NV, ainsi la ligne MR est à RP. Or est-il que la ligne MR est plus grande que la somme des deux lignes MN, NO, par conséquent la ligne PR est aussi plus grande que la somme des deux lignes IN, NV, par la 14 du 5.

Il ne reste plus qu'à prouver que la ligne RH est plus grande ou du moins n'est pas plus petite que la ligne HV, après quoi il sera constant que la somme des deux lignes droites PR, RH est plus grande que la somme des deux lignes droites IN,

NH.

Dans le triangle NHR, le carré RH est égal aux deux carrés HN et NR, moins deux fois le rectangle sous SN, NR par la 13 du 2. Mais puisque par la construction, comme le rayon MN, ou son égal NH, est à DN, ainsi NR est à NO; et que comme DN est à NS, ainsi NO est à NV; il s'ensuit qu'en raison égale comme HN est à NS, ainsi NR est à NV, par la 22 du 5, où l'on voit que NR est plus grande que NV. Et partant le rectangle des deux lignes HN et NV est égal au rectangle de SN et NR, par la 16 du 6. Par conséquent le rectangle sous HN et NV pris deux fois est égal à deux fois le rectangle sous SN et NR. C'est pourquoi le carré de HR est égal aux deux carrés HN, NR, moins deux fois le rectangle sous HN, NV. Mais le carré NR a été prouvé plus grand que le carré NV, partant le carré HR est plus grand que les deux carrés HN, NV, moins deux fois le rectangle sous HN, NV. Mais les deux carrés HN, NV, moins deux fois le rectangle sous HN, NV, sont égaux au carré de la droite HV, par la 7 du 2. Par conséquent le carré de HR