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que le corps d'où il vient soit composé de diverses parties, dont les upes s'accordent avec l'un de ces tons, et les autres avec l'autre, ce qui peut aisément être entendu par l'exemple d'un luth, dont la moitié des cordes seroient toutes accordées à l'unisson, et les autres à la sexte de cet unisson : car en entonnant de la voix quelque son qui ne soit point accordant avec ces cordes, le ventre du luth ne laissera pas de résonner quelque peu comme un écho; mais si l'on entonne l'un des deux sons auxquels ses cordes seront accordées, il résonnera beaucoup davantage'.

J'ai su il y a long-temps que les nombres dont les parties aliquotes font le triple, et qui sont divisibles par 3 et non par 9, étant ainsi divisés par trois, en produisent un, dont les parties font le double; et ceux dont les parties font le septuple, ainsi divisés par trois, en produisent un dont les parties font le quintuple; ceux de 11 en produisent un de 8, ceux de 15 un de 11, et ainsi à l'infini. Et je vous dirai que par la façon dont je cherche ces multiples, chaque trait de plume m'apprend quelque théorème semblable. Comme par exemple, je composai les six triples que je vous ai ci-devant envoyés, des quatre doubles que j'avois par le moyen de deux tels théorèmes,

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La suite de cette lettre est l'alinéa qui suit quelques pages plus bas, savoir; Je vous remercie des expériences... »

dont l'un est que tout nombre dont les parties font le double, qui est divisible par 3', sans l'être par 5 ni par 9, étant multiplié par 45, en produit un dont les parties font le triple, et l'autre, que tout nombre dont les parties font le double, qui est divisible par 3 sans l'être par 7, ni par 13 ni par 9, étant multiplié par 273, en produit aussi un dont les parties font le triple.. Mais je ne laisse pas d'être obligé à M. de Bessy de ce qu'il avoit trouvé sur ce sujet, et j'avois aussi auparavant ainsi composé celui que je vous avois envoyé, dont les parties font le double du nombre trouvé par M. de Sainte-Croix, qui fait le même, sans avoir aucun dessein de chercher le plus court: car divisant 523776 par 31, et multipliant le quotient par 87376, il vient 1476304896. Et c'est une règle générale, que tout nombre qui est divisible par 31 et par 512, sans l'être par le carré de 31 ni par 1024, ni par 43 ni par 127, étant divisé par 31 et après multiplié par 87376, en produit un qui a même proportion avec ses parties qu'avoit le premier. Que si en vous

1 Sans l'être ni par 7, ni par 9, ni par 13, étant multiplié par 273, en produit un dont les parties font le triple; et l'autre, que tout nombre qui est divisible par 3 sans l'étre par 5 ni par 9, et dont les parties font le double, étant multiplié par 45, en produit aussi un, dont les parties font le triple. J'avois aussi auparavant ainsi composé celui que je vous avois envoyé, dont les parties font le double, en y employant celui qui avoit été trouvé par M. de Sainte-Croix, et sans avoir aucun dessein..., etc. »

2 Mais je ne laisse pas d'étre obligé à M. de Bessy de ce qu'il a voulu

que

envoyant ces façons dont je trouve ces théorèmes, cela peut aider à convertir le sieur Ñ., ainsi vous écrivez, je vous l'enverrai très volontiers. Pour les nombres parfaits, je n'ai point vu le livre que vous dites en avoir été imprimé à Amsterdam, ni ne saurois le trouver, si vous ne me mandez le nom du libraire qui l'a imprimé; mais je pense pouvoir démontrer qu'il n'y a point de nombres pairs qui soient parfaits, excepté ceux d'Euclide, et qu'il n'y en a point aussi d'impairs, si ce n'est qu'ils soient composés d'un seul nombre premier, multiplié par un nombre carré, dont la racine soit composée de plusieurs autres nombres premiers. Mais je ne vois rien qui empêche qu'il ne s'en trouve quelques uns de cette sorte car, par exemple, si 22021 étoit nombre premier, en le multipliant par 9018009, qui est un carré dont la racine est composée des nombres premiers 3, 7, 11 et 13, on auroit 198585576189, qui feroit nombre parfait. Mais, quelque méthode dont on puisse user, il faut beaucoup de temps pour chercher ces nombres, et peutêtre que le plus court a plus de 15 où 20 notes.

Je ne sais point d'autre règle pour connoître si un nombre est premier ou non, sinon que je`re.

me communiquer ce qu'il avoit trouvé sur ce sujet. Et si la façon dont j'applique mon analyse à chercher ces multiples pouvoit aider à convertir le sieur Pajot, ainsi que vous l'écrivez, je le lui enverrois très volontiers.

garde à son dernier chiffre qui doit être 1 ou 3 ou 7 ou 9, et s'il est par exemple 3, j'examine s'il ne peut point être divisé en deux autres', chacun desquels ait pour son dernier chiffre, ou bien 9, ou bien dont l'un ait 3 et l'autre 7, et je fais cet examen en commençant à droite par le dernier chiffre, de quoi l'opération est véritablement assez longue, mais je n'en sais point de plus courte'.

Ce que vous dites avoir arrêté M. de Roberval en ma solution de la tangente qui fait l'angle de 45 degrés est fort peu de chose; et la méthode de Viète doit être moins parfaite que je ne pensois, si elle ne se peut étendre jusque là; car voici ce que c'est*** 3:

Dont l'un ait 3 pour son dernier chiffre, et l'autre 1, ou bien l'un 7 et l'autre 9; et je fais cet examen...

2

<< La suite de cette lettre est à l'alinéa qui commence ainsi : Pour la

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au lieu d'y, et le cube de cette somme, qui est

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au lieu de y3;

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Et pour multiplier l'une et l'autre partie par soi-même, premièrement

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2nx-n2

3 6

ni

9

27

̄81 puis je multiplie

Que s'il se trouve encore en ceci quelque chose qui ne lui semble pas assez clair, je ne doute point que celui qui corrige les copies de l'introduction ne le puisse facilement éclaircir, et il pourra aussi fort aisément achever l'opération du quadrilatère, car elle ne consiste qu'à faire des multiplications toutes simples. Vous mandez que je dois avoir employé plus de quinze jours à démêler cette équation; mais je vous jure que je n'y avois point cidevant employé tant de temps que je viens de faire ici pour l'écrire, à cause que j'ai des façons d'abréger lorsque je fais ces opérations pour moi seul qui me font mettre en deux ou trois lignes ce dont il me faut remplir une page lorsque je les écris pour les autres '.

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et en transposant ou effaçant les termes semblables, il reste

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او

1 << La suite de cette lettre est à l'alinéa précédent : J'ai su, il y a long

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