au moins un pied ou un pied et demi de hauteur entre les lignes AB et RQ ( pag. 145 de la Diop.), et que vous vous en serviez à tailler des verres qui aient quatre ou cinq pouces de diamètre pour des lunettes de deux ou trois pieds de longueur; car y ajoutant seulement des verres fort concaves taillés au hasard, je ne doute point que vous ne les rendiez beaucoup meilleures que les ordinaires, qui ne peuvent avoir des verres si grands, encore qu'elles soient beaucoup plus longues; et vous pouvez faire aisément que cette même machine serve pour diverses hauteurs. Si ce qu'on a dit au révérend père Mersenne de la lunette apportée de Naples est vrai, à savoir que le verre convexe en est extraordinairement grand, et que, bien qu'il soit plus mal poli que les 'ordinaires, il ne laisse pas d'avoir plus d'effet, je juge qu'il doit avoir la figure de l'hyperbole mais j'apprends qu'on commence à en diminuer le bruit.

Pour vos lignes courbes, la propriété dont vous m'envoyez la démonstration me paroît si belle, que je la préfère à la quadrature de la parabole trouvée par Archimède; car il examinoit une ligne donnée, au lieu que vous déterminez l'espace contenu dans une qui n'est pas encore donnée. Je ne crois pas qu'il soit possible de trouver généralement la converse de ma règle pour les tangentes, ni de celles dont se sert M. de Fermat non plus, bien que la prati

que en soit en plusieurs cas plus aisée que de la mienne; mais on en peut déduire à posteriori des théorèmes qui s'étendent à toutes les lignes courbes qui s'expriment par une équation en laquelle l'une des quantités x ou y n'ait point plus de deux dimensions, encore que l'autre en eût mille : et je les ai trouvés presque tous en cherchant ci-devant votre deuxième ligne courbe; mais pourceque je ne les écrivois que dans des brouillons que je n'ai pas gardés, je ne vous les puis envoyer. Il y a bien une autre façon qui est plus générale, et à priori, à savoir, par l'intersection de deux tangentes, laquelle se doit toujours faire entre les deux points où elles touchent la courbe, tant proches qu'on les puisse imaginer car en considérant quelle doit être cette courbe, afin que cette intersection se fasse toujours entre ces deux points, et non au-deçà ni au-delà, on en peut trouver la construction; mais il y a tant de divers chemins à tenir, et je les ai si peu pratiqués, que je n'en saurois encore faire un bon compte : toutefois vous verrez ici en quelle façon je m'en suis servi pour vos trois lignes courbes.

En la deuxième AVX, dont le sommet est A, au lieu de considérer l'axe AY, avec son ordonnée XY, j'ai considéré l'asymptote BC, vers laquelle ayant mené des ordonnées parallèles à l'axe, comme PV, RX, etc., et des tangentes, comme AC, ZVn, GXm,etc., j'ai trouvé que la partie de l'asymptote qui

est entre l'ordonnée et la tangente d'un même point, comme Pn, ou Rm, etc., est toujours égale à BC, ainsi que vous verrez facilement par le calcul. Or d'autant que les deux lignes ZV n et GX m touchent la courbe aux points V et X, elles doivent nécessairement s'entrecouper en l'espace qui est entre ces deux points, tant proches qu'ils puissent être, comme par exemple au point D, par lequel je mène FD parallèle à PV. Et je nomme AB || b; nP

|| bV 2, PF || ε ; FR || wλ PV || 2 et RX ||

n

nb b

m

en

tendant par m un nombre de parties égales auxquelles je suppose que toute la ligne b est divisée, et par n un autre moindre nombre qui exprime combien la ligne PV' contient de telles parties; en sorte que si m est 16, et n est 13, j'ai PV || 3b et RX || 13 b, car je suppose RX moindre que PV d'une de ses parties seulement. Après cela je procède en cette sorte :

nb

Comme NP || bV2 est à PV ||, ainsi nF ||

nb

ηε

m

bV2 — e est à FD ; et comme mR ||

nb-b

||

m

nb-b n w

by est à ainsi b2+ est à FD || +

m

m

mV2

; si bien que j'aie FD en deux façons, qui

me donnent on, ou bien bV2 || nw—w ||

m

ε W

ce qui montre que PR, que j'ai nommée : † o est

1 Figure 11.

bV2tw

n

ou bien, c'est-à-dire que PR est néces

6V2 ou bien, afin de rejeter le nombre sourd V2, que la ligne aß est plus grande que, et plus petite

toutes les ordonnées parallèles à l'axe qui ne diffèrent l'une de l'autre que d'une des parties de la ligne AB, ceci suffit pour démontrer que si on divise cette ligne AB en 8, et que PV contienne, par exemple, b, Aa sera plus grande que b, b, et moindre que b,†b; et que si on divise AB en 16, Aa sera plus grande que

5

I

1 3

3

b

b + b + b, et moindre que — b, †÷b,

14

I 2

13

5

b, b, et ainsi des autres : de façon que, divisant AB en plus de parties, on peut approcher de plus en plus à l'infini de la juste longueur des lignes Aa, Aẞ et semblables, et par ce moyen construire mécaniquement la ligne proposée.

De plus, à cause que RX étant b, on ne sauroit imaginer en la ligne Aẞ aucun point au-dessus de ẞ, comme y, qui soit si proche de ß qu'il ne se démontre pas ceci, que l'intervalle y est moindre que le double de la différence qui sera entre l'ordonnée RX et l'ordonnée qui passera par le point y; et qu'au contraire on ne sauroit imaginer aucun point au-dessous de ß, comme d, qu'il

ne se démontre que l'intervalle ßò est plus grand que le double de la différence qui est entre l'ordonnée RX et celle qui passe par ; et que tout de même que PV étant b, on ne sauroit mener aucune autre ordonnée au-dessus d'elle, comme par le point n, que la ligne a n ne soit moindre que de leur différence; ni aucune au-dessous, comme par 0, que a ne soit plus grande que de leur différence, et ainsi des autres. Cela montre que, pour décrire exactement cette courbe AVX, il faut mouvoir deux lignes droites en telle sorte, que l'une étant appliquée sur la ligne AH, et l'autre sur AB, elles commencent à se mouvoir en même temps également vite, AH vers BR, et AB vers RH; et que celle qui se meut de AH vers BR retienne toujours sa même vitesse, mais que l'autre qui descend de BA, parallèle à RH, augmente la sienne en telle proportion, que si elle a un degré de vitesse en commençant, elle en ait lorsque la première a parcouru la huitième partie de la ligne AB, et ou lorsque la première a parcouru le quart de AB, et,,, et 8 et 16 et 32, etc., lorsque la première arrive à 3,,,, etetet, etc., de la ligne AB, et ainsi à l'infini; et l'intersection de ces deux lignes droites décrira exactement la courbe AVX, qui aura les propriétés demandées. Mais je crois que ces deux mouvements sont tellement incommensura

S

2